Orientadores: Adriano Adrega de Moura, David Hernandez

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica

Resumo: O conceito de afinização minimal, introduzido por Chari e Pressley, surgiu a partir da impossibilidade de se estender, em geral, uma representação do grupo quântico associado a uma álgebra de Lie simples para o grupo quântico associado à sua álgebra de laços, o que sempre é possível no...

Resumo: O conceito de afinização minimal, introduzido por Chari e Pressley, surgiu a partir da impossibilidade de se estender, em geral, uma representação do grupo quântico associado a uma álgebra de Lie simples para o grupo quântico associado à sua álgebra de laços, o que sempre é possível no contexto clássico. Uma classe especial de afinizações minimais é a dos módulos de Kirillov-Reshetikhin, que são afinizações minimais dos módulos irredutíveis quando os pesos máximos são múltiplos dos pesos fundamentais. Esses módulos são objetos centrais no estudo de reticulados integráveis em mecânica estatística. Nas últimas duas décadas, tem sido intensa a investigação científica na direção de se entender as afinizações minimais, devido não só às suas potenciais aplicações em física-matemática, mas também por ser uma teoria muito rica por si só, além de ter forte interação com combinatória. Existe uma classificação quase completa das classes de equivalências de afinizações minimais em termos de polinômios de Drinfeld, devido a Chari e Pressley. A classificação está completa no caso em que o suporte do peso máximo não engloba um subdiagrama de tipo D4, e neste caso existe uma única classe de equivalência. No caso em que o suporte engloba um subdiagrama de tipo D4 a situação depende essencialmente se o suporte contém o vértice trivalente do diagrama ou não. Se ele o contém, a classificação também está completa e existem três classes de equivalências. Caso contrário a classificação não está completa. Neste trabalho apresentamos a classificação das classes de equivalências para álgebras de tipo D. A principal técnica empregada foi a manipulação combinatória de qcaráteres através principalmente de sua descrição via tableaux e, algumas vezes, utilizando-se o algoritmo de Frenkel-Mukhin

Abstract: The concept of minimal affinization, introduced by Chari and Pressley, arose from the impossibility to extend, in general, a representation of the quantum group associated to a simple Lie algebra for the quantum group associated to its loop algebra, which is always possible in the...

Abstract: The concept of minimal affinization, introduced by Chari and Pressley, arose from the impossibility to extend, in general, a representation of the quantum group associated to a simple Lie algebra for the quantum group associated to its loop algebra, which is always possible in the classical context. A special class of minimal affinizations is that of the Kirillov-Reshetikhin modules, which are minimal affinizations of the irreducible modules with highest weight multiple of a fundamental weight. These modules are central objects in the study of integrable lattices in mechanical statistics. In the past two decades it has been intense the scientific research in the direction of understanding the minimal affinizations, not only by their potential applications in mathematical physics, but also for being a very rich theory for itself, in addition to having strong interaction with combinatorics. There exists an almost complete classification of the equivalence classes of the minimal affinizations in terms of Drinfeld polynomials due to Chari and Pressley. The classification is completed in the case where the support of the highest weight does not enclose a subdiagram of type D4, and in this case there is only one equivalence class. In the case where the support encloses a subdiagram of type D4 the situation depends essentially if support contains the trivalent node of the diagram or not. If it contains, the classification is also completed and there are three equivalence classes. Otherwise the classification is not completed. In this work we present the classification of the equivalence classes for algebras of type D. The main technique used was the combinatorial manipulation of qcharacters through mainly its description via tableaux and sometimes using the Frenkel-Mukhin algorithm