Orientadores: Marcia Aparecida Gomes Ruggiero, Carlile Campos Lavor

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo: A preparação, manipulação e caracterização de sistemas quânticos são tarefas essenciais para a computação quântica. Em Tomografia de Estados Quânticos, o objetivo é encontrar uma estimativa para a matriz de densidade, associada a um ensemble de estados quânticos identicamente preparados,...

Resumo: A preparação, manipulação e caracterização de sistemas quânticos são tarefas essenciais para a computação quântica. Em Tomografia de Estados Quânticos, o objetivo é encontrar uma estimativa para a matriz de densidade, associada a um ensemble de estados quânticos identicamente preparados, baseando-se no resultado de medições. Este é um importante procedimento em computação e informação quântica, sendo aplicado, por exemplo, para verificar a fidelidade de um estado preparado ou em tomografia de processos quânticos. Nesta tese, estudamos métodos matemáticos aplicados aos problemas que surgem na reconstrução de estados quânticos. Na estimação por Máxima Verossimilhança, apresentamos dois métodos para a resolução dos problemas de otimização dessa abordagem. O primeiro se baseia em uma reparametrização da matriz de densidade e, neste caso, provamos a equivalência das soluções locais do problema de otimização irrestrita associado. No segundo, relacionado à verossimilhança multinomial, demonstramos a convergência global do método sob hipóteses mais fracas que as da literatura. Apresentamos também duas formulações para o caso de tomografia com um conjunto incompleto de medidas: Máxima Entropia e Tomografia Quântica Variacional. Propusemos uma nova formulação para a segunda, de modo a apresentar propriedades mais parecidas as da Máxima Entropia, mantendo a estrutura de um problema de programação semidefinida linear. Para outros problemas de otimização sobre o espaço de matrizes de densidade além do problema da Tomografia de Estados Quânticos, apresentamos um método de Gradiente Projetado que se mostrou efetivo em testes numéricos preliminares. Por fim, discutimos sobre a implementação de inferência Bayesiana, através de métodos Monte Carlo via cadeias de Markov, no problema de estimação da matriz de densidade

Abstract: Preparation, manipulation and characterization of quantum states are essential tasks for quantum computation. In Quantum State Tomography, the aim is to find an estimate for the density matrix associated to an ensemble of identically prepared quantum systems, based on the measurement...

Abstract: Preparation, manipulation and characterization of quantum states are essential tasks for quantum computation. In Quantum State Tomography, the aim is to find an estimate for the density matrix associated to an ensemble of identically prepared quantum systems, based on the measurement outcomes. This is an important procedure in quantum information and computation applied for instance, to verify the fidelity of a prepared state or in quantum process tomography. In this thesis we study mathematical methods applied to problems that raise from the reconstruction of quantum states. In the Maximum Likelihood Estimation we present two methods to solve the optimization problems of this approach. The first one is based on a reparameterization of the density matrix and, in this case, we prove the equivalence of local solutions of the related unconstrained optimization problem. In the second one, related to multinomial likelihoods, we prove the global convergence of the method under weaker assumptions than those of literature. We also discuss two formulations to the case of quantum state tomography with incomplete measurements: Maximum Entropy and Variational Quantum Tomography. We propose a new formulation for the second one in order to have a similar behavior to the Maximum Entropy approach, keeping the linear semidefinite positive programming structure. Furthermore, in order to solve other optimization problems over the density matrices space besides the Quantum State Tomography, we present a Projected Gradient method which shows a good performance in preliminary numerical tests. We also briefly talk about the implementation of a Bayesian inference scheme, through Monte Carlo Markov chains methods, to the density matrix estimation problem