Orientador: Marcelo Firer

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo: Em 1963, F. J. MacWilliams desenvolveu as chamadas identidades de MacWilliams, que estabelecem, em particular, relações entre a distribuição de pesos de códigos possuindo alta taxa de informação e códigos com baixa dimensão. Consideramos neste trabalho a família de métricas poset-block, uma...

Resumo: Em 1963, F. J. MacWilliams desenvolveu as chamadas identidades de MacWilliams, que estabelecem, em particular, relações entre a distribuição de pesos de códigos possuindo alta taxa de informação e códigos com baixa dimensão. Consideramos neste trabalho a família de métricas poset-block, uma pouco explorada generalização tanto das métricas de bloco quanto das métricas poset, e consequentemente da clássica métrica de Hamming. Efetuamos uma descrição detalhada dos espaços munidos com tais métricas com ênfase na teoria de códigos e em seguida tratamos do problema que surge naturalmente neste contexto: a caracterização dos espaços que admitem uma identidade do tipo MacWilliams, ou seja, a classificação das métricas que permitem relacionar unicamente o espectro de um código com o de seu dual. A principal técnica utilizada nesta classificação é a teoria de caracteres sobre corpos finitos, incluindo aí a transformada de Hadamard, a fórmula da soma discreta de Poisson e as relações de ortogonalidade existente entre caracteres. Tal técnica foi proposta inicialmente por F. J. MacWilliams e utilizada posteriormente por H. K. Kim e D. H. Oh na classificação das métricas poset que admitem identidades do tipo MacWilliams. Nosso principal objetivo é portanto classificar os espaços poset-block que admitem uma identidade do tipo MacWilliams. Como conseqüência desta classificação, através dos polinômios de Krawtchouk, obteremos expressões explícitas para estas identidades

Abstract: In 1963, F. J. MacWilliams developed the so-called MacWilliams identities, which establish, in particular, relations between the weight distribution of codes having high information rate and codes with low dimension. In this work we consider the family of poset-block metrics, a little...

Abstract: In 1963, F. J. MacWilliams developed the so-called MacWilliams identities, which establish, in particular, relations between the weight distribution of codes having high information rate and codes with low dimension. In this work we consider the family of poset-block metrics, a little explored generalization of both error-block and poset metrics, and hence also of the classic Hamming metric. We perform a detailed description of the spaces equipped with such metrics with emphasis in the coding theory and then we treat the problem that arises naturally in this context: the characterization of the poset-block metrics that admit a MacWilliams-type identity, in other words, the classification of metrics that allow to relate uniquely the spectrum of a code with the spectrum of its dual. The main technique used in this classification is the theory of characters over finite fields, including the Hadamard transform, the discrete Poisson summation formula and the orthogonality relations between characters. Such techniques were proposed initially by F. J. MacWilliams and used posteriorly by H. K. Kim and D. H. Oh in the classification of the metrics that admit a type of MacWilliams identity. Our main goal is therefore to classify the poset-block spaces that admit a MacWilliams type identity. As consequence of this classification, through the Krawtchouk polynomials, we will obtain explicit expressions for those identities