Orientador: Amir Ordacgi Caldeira

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin

Resumo: Este trabalho foi motivado por várias dificuldades encontradas no estudo do artigo de M. Ueda, Transmission Spectrum of a Tunneling Particle Interacting with Dynamical Fields: Real- Time Functional Integral Approach, Phys. Rev. B 54, 8676 (1996). Nesse artigo, num formalismo de tempo real, é...

Resumo: Este trabalho foi motivado por várias dificuldades encontradas no estudo do artigo de M. Ueda, Transmission Spectrum of a Tunneling Particle Interacting with Dynamical Fields: Real- Time Functional Integral Approach, Phys. Rev. B 54, 8676 (1996). Nesse artigo, num formalismo de tempo real, é descrito o tunelamento de uma partícula através de uma barreira utilizando tempos não reais de travessia através dessa barreira. No presente trabalho é proposto um formalismo mais amplo de tempo real para uma introdução mais natural de valores complexos do tempo na descrição do tunelamento de uma partícula cm interação com o ambiente. Esta proposta está baseada no chamado método do tempo complexo utilizado no caso do tunelamento de uma partícula sem interação com o ambiente estudado nos trabalhos de D. W. McLaughlin, J. Math. Phys. 13, 1099 (1972) c B. R. Holstein c A. R. Swift, Am. J. Phys. 50, 833 (1982). Seguindo o trabalho citado de Ueda, o ambiente da partícula é representado através de um conjunto, ou banho térmico, de osciladores harmônicos caracterizados por uma função de densidade espectral J(w). Utilizando o método de Feynman de integrais de trajetória, integramos sobre as coordenadas dos osciladores do banho c obtemos uma expressão exata para o espectro de transmissão da partícula para uma temperatura do banho T > O. Limitando-nos então ao caso mais simples T = O, estudamos o tunelamento dissipativo da partícula através da barreira. Considerando h um parâmetro pequeno (limite semiclássico), aproximamos o espectro de transmissão da partícula através da contribuição das trajetórias clássicas c suas trajetórias vizinhas. Nesta aproximação consideramos a variação da ação efetiva da partícula para tempos dados de duração das trajetórias c deste modo substituímos o procedimento variacional seguido no trabalho indicado de Ueda onde não é considerada a variação nos tempos de travessia da partícula através da barreira. Num segundo problema variacional nos tempos de duração das trajetórias clássicas de acordo com o método do tempo complexo e considerando também a variação nas posições iniciais c finais dessas trajetórias, obtemos as equações de movimento das chamadas trajetórias clássicas especiais. Este tratamento das coordenadas iniciais c finais das trajetórias clássicas substitui o procedimento seguido no trabalho de Ueda onde é considerc1da uma aceleração nula durante todo o trajeto de movimento incluindo o trajeto na região da barreira. Diferentemente do artigo citado de Ueda, no presente trabalho utilizamos pacotes de ondas relativamente bem localizados para descrever os estados inicial e final da partícula. Em consequência, aproximamos o espectro de transmissão da partícula através de trajetórias clássicas especiais com coordenadas iniciais c finais iguais ao valor médio da coordenada para esses pacotes de ondas. O procedimento seguido neste trabalho, baseado no método do tempo complexo, permite obter o fator ele acoplamento apropriado entre as duas trajetórias que descrevem a ação efetiva ela partícula substituindo assim o procedimento de tipo ad hoc seguido com este fim no trabalho indicado de Ueda. O método do tempo complexo permite obter também o termo ela diferença entre a ação efetiva da partícula c o expoente ele tunelamento, sendo que estas grandezas são tratadas como iguais no trabalho citado de Ueda. Considerando termos até primeira ordem num campo elétrico externo c na interação da partícula com o banho de osciladores, obtemos expressões gerais para o expoente de tunelamento, o espectro de transmissão, a taxa total de tunelamento c o tempo de travessia da partícula através da barreira, válidas para um banho de osciladores com uma função de densidade espectral arbitrária. Assim temos que a interação da partícula com um banho de osciladores com uma função de densidade espectral arbitrária diminui a taxa total de tunelamento. Adicionalmente, obtemos que a interação da partícula com os osciladores do banho com frequências ?a = ?C ~ 1.9 T , onde T0 é o tempo característico de travessia através da barreira no caso cm que não há interação da partícula com o banho de osciladores nem campo elétrico, não afeta o tempo característico de travessia através da barreira. Por outro lado, a interação da partícula com os osciladores do banho que têm frequências ?a < ?C (?a > ?C) diminui (aumenta) o tempo característico de travessia através da barreira. No caso de um banho de osciladores com uma única frequência w c uma constante de acoplamento com a partícula dada por Ca = Ca (wT)a , são identificados cinco comportamentos diferentes em função de w para o expoente característico de tunelamento e o tempo característico de travessia através da barreira. Estes comportamentos correspondem aos valores de s < 1, s = 1, 1 < s < 2, s = 2 e s > 2. No trabalho de M. Ueda, Phys. Rev. B 54, 8676 (1996), foi considerado somente o expoente característico de tunelamento no caso s = 1. No caso de um banho ôhmico de osciladores a temperatura zero, assim corno no caso de um banho de osciladores com uma única frequência, obtemos que o espectro de transmissão da partícula é zero para urna energia final característica da partícula maior que a energia inicial característica. Este resultado corrige o resultado correspondente no trabalho citado de Ueda, o qual não é consistente do ponto de vista físico, permitindo também obter de um modo mais coerente a corrente de tunelamento entre dois metais separados por um material isolante a temperatura zero. Obtém-se também que a interação da partícula com um banho ôhmico de osciladora não afeta o tempo característico de travessia através da barreira até primeira ordem nessa interação

Abstract: This work was motivated by several difficulties found when studying the article by M . Ueda, Transmission Spectrum of a Tunneling Particle Interacting with Dynamical Fields: Real-Time Functional-Integral Approach, Phys. Rev. B 54, 8676 (1996). In that paper, using a real-time formalism, a...

Abstract: This work was motivated by several difficulties found when studying the article by M . Ueda, Transmission Spectrum of a Tunneling Particle Interacting with Dynamical Fields: Real-Time Functional-Integral Approach, Phys. Rev. B 54, 8676 (1996). In that paper, using a real-time formalism, a tunneling particle is described by complex traversal times of tunneling. In the present work we propose a broader real-time formalism that allows for a more natural introduction of complex values of time in the description of a tunneling particle interacting with the environment. This proposal is based on the well-known complex time method used in the case of a tunneling particle with no interaction with the environment studied in the works of D. W. McLaughlin, J. Math. Phys. 13, 1099 (1972) and B. R. Holstein and A. R. Swift, Am. J. Phys. 50, 833 (1982). Following the cited work of Ueda, the environment of the particle is represented by a set, or heat bath, of harmonic oscillators which is characterized by a spectral density function J(w). Using the Feynman path integrals method, we integrate out the coordinates of the bath oscillators and obtain an exact expression for the transmission spectrum of the particle for a bath temperature T > O. Limiting ourselves to the simpler case T = O, we study the case of a dissipative tunneling of the particle. Considering h a small parameter (semiclassical limit) we approximate the transmission spectrum of the particle by the contribution of the classical trajectories and its neighboring paths. In this approach we consider the variation of the effective action of the particle for given duration times of the paths and replace the variation procedure followed in the cited work of Ueda where the variation in the traversal times of tunneling is not considered. In a second variation problem for the duration times of the classical paths, according to the complex time method and considering also the variation in the initial and final positions of these paths, we obtain the equations of motion for the so-called special classical paths. This treatment of the initial and final coordinates of the classical paths replaces the procedure followed in the cited work of Ueda where an acceleration equal to zero is considered during the entire path of motion including the region under the barrier. Unlike the cited article of Ueda, we use in the present work wave packets relatively well localized to describe the init.ial and final statics of the particle. Conscqncnt.ly, we approximate the transmission spectrum of the particle through special classical paths with initial and final coordinates equal to the average value of the coordinate for those wave packets. The procedure followed in this work, based on the complex time method, gives the appropriate coupling factor between the two paths describing the effective action of the particle and thus replaces the ad hoc procedure followed for this purpose in the cited work of Ueda. The complex time method also allows us to obtain the difference term between the effective action of the particle and the tunneling exponent. These quantities are treated as equal in Ueda\'s work. Considering terms up to first order in an external electric field and the interaction of the particle with the bath of oscillators, we obtain general expressions for the tunneling exponent, transmission spectrum, total tunneling rate and traversal time of tunneling, which are valid for a bath of oscillators with an arbitrary spectral lenity function. We find that the interaction of the particle with a bath of oscillators with an arbitrary spectral density function decreases the total tunneling rate. Also, we find that the interaction of the particle with the bath oscillators with frequencies ?a = ?C ~ 1.9 T , where To is the characteristic traversal time of tunneling when there is no interaction of the particle with the bath of oscillators nor electric field. , does not affect the characteristic traversal time of tunneling. On the other hand, the interaction of the particle with the bath oscillators having frequencies ?a< ?c (?a: > ?c decreases (increases) the characteristic traversal time of tunneling. In the case of a bath of oscillators with a single frequency w and a coupling constant with the particle given by Ca = Ca (wT)a we identify five different behaviors deepening on w for the characteristic tunneling exponent and the characteristic traversal time of tunneling. These behaviors correspond to the values of s < 1, s = 1, 1 < s < 2, s = 2 and s > 2. In the work of M. Ueda, Phys. Rev. B 54, 8676 (1996), it was only considered the characteristic tunneling exponent in the case s = 1. In the case of an ohmic bath of oscillators at zero temperature, as well as in the case of a bath of oscillators with a single frequency, we obtain that the transmission spectrum of the particle is ;1,cro for a final characteristic energy of the particle greater than the initial characteristic energy. This result corrects the corresponding result in Ueda work, which is not consistent from a physical point of view, allowing also for a more coherent derivation of the tunneling current between two metals separated by an insulating material at zero temperature. It is also obtained that the interaction of the particle with an ohmic bath of oscillators does not affect the characteristic traversal time of tunneling up to first order in that interaction