Orientador: Antonio Carlos Moretti, Margarida Pinheiro Mello

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo: Existem na literatura diversos conceitos e definições que caracterizam e dão condições de otimalidade para as soluções de um problema de programação multiobjetivo. A mais importante é a condição necessária de primeira ordem, que generaliza a condição clássica do tipo Karush-Kuhn-Tucker em...

Resumo: Existem na literatura diversos conceitos e definições que caracterizam e dão condições de otimalidade para as soluções de um problema de programação multiobjetivo. A mais importante é a condição necessária de primeira ordem, que generaliza a condição clássica do tipo Karush-Kuhn-Tucker em otimização não linear. Esta condição garante a existência de uma vizinhança arbitrária onde uma solução ótima está contida. No entanto, para se obter condições suficientes de otimalidade, tanto local como global, é necessário impor hipóteses adicionais sobre as funções objetivo e o conjunto de restrições, como convexidade ou as suas generalizações. Em determinados problemas tais hipóteses podem ser muito restritivas. Neste trabalho, introduzimos um conceito alternativo para identificar a vizinhança de uma solução ótima local em problemas de programação multiobjetivo. Em uma primeira etapa, usando este conceito, obtemos condições necessárias e suficientes de otimalidade para as soluções de um problema particular, onde cada função objetivo é constituída de um quociente de funções quadráticas e o conjunto de restrições é formado por desigualdades lineares. Então, mostramos como calcular o maior raio da região esférica centrada em uma solução ótima local na qual esta solução é ótima. Nesse processo, podemos concluir que esta solução também é globalmente ótima. Em uma segunda etapa, usando o gradiente e a Hessiana de cada função quadrática, caracterizamos as soluções ótimas locais. Em uma terceira etapa, obtemos condições suficientes de otimalidade global impondo algumas hipóteses adicionais, porém essas hipóteses não caracterizam nenhum tipo de convexidade generalizada sobre as funções objetivo. Finalizamos com alguns resultados de dualidade. Este problema particular, envolvendo otimização fracional, surge frequentemente em aplicações nos processos de tomada de decisão em Ciência da Gestão, por exemplo, quando se deseja otimizar razões como desempenho/custo, lucro/investimento, custo/tempo, etc. Por isso, também propomos ao longo do texto vários métodos computacionais derivados dos nossos resultados que podem ser usados na obtenção de soluções para esses tipos de aplicações

Abstract: In the literature there are several concepts and definitions that characterize and give optimality conditions for solutions of a multiobjective programming problem. The most important is the necessary first-order optimality condition that generalizes the Karush-Kuhn-Tucker conditions. This...

Abstract: In the literature there are several concepts and definitions that characterize and give optimality conditions for solutions of a multiobjective programming problem. The most important is the necessary first-order optimality condition that generalizes the Karush-Kuhn-Tucker conditions. This condition ensures the existence of an arbitrary neighborhood that contains an optimal solution. However, in order to obtain optimality sufficient conditions, both local and global, it is necessary to impose additional assumptions on the objective functions and on the feasible set such as convexity and its generalizations. Sometimes, in some problems, such assumptions are too restrictive. In this work, we introduce an alternative concept to identify the local optimal solution neighborhood in multiobjective programming problems. In a first step, using this concept, we obtain necessary and sufficient optimality conditions for the solutions of a particular problem, where each objective function consists of a ratio quadratic functions and the feasible set is defined by linear inequalities. Then we show how to calculate the largest radius of the spherical region centered on a local optimal solution in which the local solution is optimal. In this process we may conclude that the solution is also globally optimal. In a second step, using the gradient and the Hessian of each quadratic function, we characterize the local optimal solutions. In a third step, we obtain global optimality sufficient conditions by imposing some additional assumptions but these assumptions do not characterize any kind of generalized convexity on the objective functions. We conclude this work with some results of the duality. This particular problem, involving fractional optimization, arises frequently in the decision making of the management science applications, for example, if you want to otimize the performance/cost ratio, or profit/investment, or cost/time, etc.. Therefore, we also propose throughout the text various computational methods derived from our results. These methods can be used to obtain solutions to these types of applications