Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação

Resumo: Apresentamos uma teoria linearizada para o estudo da dinâmica de pe­quenas perturbações de alguns sistemas com simetria cilíndrica em relativi­dade geral. A primeira parte refere-se a cordas cósmicas estáticas retilíneas, de espessura finita na teoria de calibre U(l) acoplada às equações de...

Resumo: Apresentamos uma teoria linearizada para o estudo da dinâmica de pe­quenas perturbações de alguns sistemas com simetria cilíndrica em relativi­dade geral. A primeira parte refere-se a cordas cósmicas estáticas retilíneas, de espessura finita na teoria de calibre U(l) acoplada às equações de Einstein. Inici­almente, são desenvolvidos métodos numéricos específicos para a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias que descreve este tipo de corda, incorporando informações sobre o comportamento assintótico da solução e certas identidades integrais que esta deve satisfazer. Um método baseado em colocação com splines quÍnticas mostra-se bastante eficiente, permitindo refinar os valores publicados para o déficit angular e a densidade linear de energia da corda. As equações de campo são então linearizadas em torno da solução para uma corda estática, assumindo que as perturbações têm simetria cilíndrica. Empregando o método dos modos normais, o problema é reduzido a um sistema de equações diferenciais ordinárias para a estrutura espacial dos modos normais. Empregando algoritmos para a solução numérica de proble­mas generalizados de autovalores, encontra-se evidência de que a corda em questão é estável frente a perturbações radiais. Mostra-se que a corda admite um espectro contínuo de modos neutros em que as perturbações da métrica e dos campos que compõe a corda comportam-se como ondas estacionárias. O espectro pode ser dividido em regiões de freqüência alta, intermediária e baixa; o número de modos normais independentes por freqüência (degene­rescência) é diferente em cada região. Soluções numéricas para os modos neutros são obtidas pelo método de Runge-Kutta, empregando as soluções estáticas previamente obtidas em termos de splines para a computação dos coeficientes nas equações para as perturbações. Argumenta-se que os concei­tos de modos quase-normais e de modos complexos que se propagam para o exterior, comumente usados na literatura sobre modelos estelares, não são particularmente úteis na descrição das perturbações de cordas U(l). Na segunda parte do trabalho, é introduzida uma nova classe de soluções estacionárias das equações de Einstein, representando vórtices auto-gravitantes compostos por um gás ideal relativístico com temperatura uniforme e uma distribuição arbitrária de velocidades angulares em torno do eixo de simetria. Exemplos deste tipo de soluções são determinadas numericamente por um método de shooting. Com a suposição de temperatura uniforme, é possível deduzir uma expressão integral para a densidade linear do vórtice, onde as contribuições devidas à rotação aparecem explicitamente; além disso, mostra-se que o problema de valores de contorno não-linear que define o vórtice é invariante sob certas mudanças de escala das coordenadas e cam­pos. No estudo de perturbações radiais destes sistemas, restringe-se a atenção ao caso mais simples de um politropo sem rotação. Com o auxílio da me­todologia já empregada para as cordas U(l), obtém-se evidência de que o politropo estático é estável frente às perturbações consideradas. A estrutura do espectro de modos neutros é bem mais simples do que no caso da corda U(l), com apenas um modo por freqüência; cada modo é composto por on­das gravitacionais e acústicas estacionárias acopladas. Curvas de amplitude e fase assintóticas da componente gravitacional do modo normal normalizado em função da freqüência mostram características normalmente associadas à presença de um espectro discreto de modos complexos que se propagam para o exterior; entretanto, argumenta-se que não existem modos em que tanto as perturbações gravitacionais quanto as acústicas se propagam para o exterior. Uma limitação da teoria linearizada desenvolvida neste trabalho é sua ina­bilidade para descrever a evolução final de uma perturbação que se propaga para o exterior; esta limitação é explicada pela formação de ondas de choque (um fenômeno não-linear) nas camadas mais rarefeitas do politropo.

Abstract: A linearized theory of the dynamics of small perturbations of certain cylin­drically symmetric systems in general relativity is presented. Firstly, we deal with straight, static cosmic strings of finite thickness in the U(l) gauge theory coupled to the Einstein equations. Taking into...

Abstract: A linearized theory of the dynamics of small perturbations of certain cylin­drically symmetric systems in general relativity is presented. Firstly, we deal with straight, static cosmic strings of finite thickness in the U(l) gauge theory coupled to the Einstein equations. Taking into ac­count the asymptotic behavior of the solution and certain integral identities, we develop specific numerical methods to solve the system of ordinary dif­ferential equations which describes this type of string. A method based on quintic spline collocation turns out to be very effective, allowing us to refine the published values for the string angular deficit and linear energy density. Assuming that the perturbations have cylindrical symmetry, the field equa­tions are then linearized about the static string solution. Using the method of normal modes, the problem is reduced to a system of ordinary differential equations for the spatial structure of the normal modes. Algorithms for the numerical solution of generalized value problems provide evidence that the string is stable against radial perturbations. We show that the string has a continuous spectrum of neutral modes, in which the perturbations of the metric and the fields which make up the string behave as stationary waves. The spectrum may be divided in regions of high, intermediate and low frequencies the number of independent normal modes per frequency is different in each region. Employing the static solutions previously obtained in terms of splines for the computation of the coefficients in the perturbation equati­ons, we obtain numerical solutions for the neutral modes by the Runge-Kutta method. It is argued that the concepts of quasi-normal modes and complex outgoing modes, commonly used in the literature on stellar models, are not particularly useful in the description of the perturbations of U (1) strings. In the second part of this work, we introduce a new class of stationary solutions of the Einstein equations, which represent self-gravitating vortices in an ideal relativistic gas with an uniform temperature distribution and an arbitrary distribution of angular velocities about the axis of symmetry. Examples of such solutions are determined numerically by a shooting method. With the assumption of uniform temperature, it is possible to derive an inte­gral expression for the linear density of the vortex, wherein the rotation contributions appear explicitly. Furthermore, we show that the non-linear boundary-value problem which defines the vortex is invariant under a certain scaling of the coordinates and fields. In the study of radial perturbations of these systems, we restrict our attention to the simplest case, namely non­rotating polytrope. Performing an analysis which is analogous to the one for U (1) strings, we find numerical evidence that the static polytrope is sta­ble with respect to radial perturbations. The structure of the spectrum of neutral modes is much simpler than that of the U(l) string, consisting of a single mode per frequency; each mode exhibits coupled stationary gravitati­onal and acoustic waves. The curves of asymptotic amplitude and phase of the gravitational component of the normalized normal mode as a function of frequency display characteristics which are normally associated with the existence of a discrete spectrum of complex outgoing modes; however, it is argued that there are no modes in which both the acoustic and the gravitati­onal perturbations are outgoing. A limitation of the present linearized theory is its inability to describe the final evolution of a perturbation which propa­gates outwards; this limitation is explained by the formation of shock waves (a non-linear phenomenon) in the outer, rarefied layers of the poly trope.