Orientador : Marco Antonio Teixeira

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação

Resumo: Estas notas dedicam-se ao estudo de uma classe particular de sistemas dinâmicos (a tempo contínuo e discreto) que se caracterizam por exibir simetria de reversibilidade de tempo, isto é, num tal sistema ao se determinar uma solução, automaticamente se conhecerá uma outra, a saber, é a...

Resumo: Estas notas dedicam-se ao estudo de uma classe particular de sistemas dinâmicos (a tempo contínuo e discreto) que se caracterizam por exibir simetria de reversibilidade de tempo, isto é, num tal sistema ao se determinar uma solução, automaticamente se conhecerá uma outra, a saber, é a anterior percorrida no sentido inverso do tempo. Um exemplo de tal sistema, é a equação de Newton para uma partícula de massa unitária sujeita a um potencial V(x), isto é, x=-VV(x) (O) onde claramente, se x(t) é uma solução de (O) então x(-t) é ainda uma solução de (O). Denominaremos por sistemas reversíveis, aqueles que possuem simetria de reversibilidade de tempo. Sistemas reversíveis são abundantes em Física (veja Roberts [Ro 1]), daí a importância do estudo de tais sistemas. Nestas notas introduziremos o objeto de estudo (sistemas reversíveis) definindo-o e dando suas propriedades básicas. Em seguida estudaremos um caso particular de sistema dinâmico reversível a tempo discreto, a saber, uma família ,a 2-parâmetros de difeomorfismos reversíveis do ponto de vista de bifurcações locais, ou seja, mudanças estruturais locais do espaço de órbitas quando os parâmetros são deixados variar. Tal família exibe dinâmica bastante rica, contendo regiões do espaço de fase com comportamentos dinâmicos conservativo e dissipativo coexistindo.

Abstract: The purpose of this note is to study dynamical systems (with continuous and discrete time) that display time reversal symmetry. These systems have the characterizing property that knowing a solution implies in knowing another solution simply by seting the first and running it in reverse...

Abstract: The purpose of this note is to study dynamical systems (with continuous and discrete time) that display time reversal symmetry. These systems have the characterizing property that knowing a solution implies in knowing another solution simply by seting the first and running it in reverse direction of time. A simple example of such a system is Newton's equation for a particle with unit mass under the action of the potential V, i.e, x = -VV(x) (O). In this case, it is easy to see that, if x(t) is a solution of(O), then x(-t) is also a solution of (O). A system as (O), or a system that has time reversal symmetry is called a reversible system. Reversible dynamical systems appear m many branches of Physics (for example see Roberts [Ro 1]). In this note, we start with an introductory presentation of reversible systems. Next, we study a model of a reversible discrete dynamical system represented by a 2-parameter family of diffeomorphisms of the cylinder. We are interested in analysing the local bifurcations of this family, that is, the structural changes of the orbit space of a small neighborhood of the fixed points. This family presents rich dynamics, in the sense that, conservative and dissipative behaviors can coexist in the same phase portrait.