Matrizes de conexão para as dinamicas continua e discreta
Naiara Vergian Paulo
DISSERTAÇÃO
Português
T/UNICAMP P285m
[Connectiion matrices for the continuous and discrete dynamics]
Campinas, SP : [s.n.], 2010.
142 p. : il.
Orientador: Ketty Abaroa de Rezende
Dissertação (mestrado) - Universidade Esstadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica
Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar a matriz de conexão, estabelecendo um paralelo entre as abordagens contínua e discreta. O índice homológico de Conley, principal elemento para a definição da matriz de conexão, assume formas distintas quando lidamos com fuxos ou com aplicações...
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Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar a matriz de conexão, estabelecendo um paralelo entre as abordagens contínua e discreta. O índice homológico de Conley, principal elemento para a definição da matriz de conexão, assume formas distintas quando lidamos com fuxos ou com aplicações contínuas. Tal índice trata-se apenas de um espaço vetorial graduado no caso contínuo, enquanto no caso discreto toma a forma de um par que consiste de um espaço vetorial graduado junto com um isomorfismo. Como consequência, a matriz de conexão para uma decomposição de Morse é definida diferentemente quando consideramos sistemas dinâmicos contínuos ou discretos. No primeiro caso, a matriz de conexão é uma matriz de aplicações lineares entre os índices contínuos homológicos de Conley dos conjuntos de Morse que codifica uma trança de espaços vetoriais graduados, conhecida como trança do índice contínuo homológico. Já no segundo caso, a matriz de conexão é um par de matrizes que têm como entradas aplicações lineares definidas entre os índices discretos homológicos de Conley dos conjuntos de Morse e, agora, este par de matrizes codifica uma trançaa de espaços vetoriais graduados com isomorfismos, chamada trança do índice discreto homológico. Apesar do índice homológico de Conley e da matriz de conexão serem elementos puramente algébricos, ambos são capazes de fornecer informações dinâmicas sobre um fuxo e mais ainda sobre uma aplicação contínua. Especificamente, estes elementos podem detectar a existência de órbitas de conexão entre conjuntos de Morse de um conjunto invariante isolado e exemplos desta situação são apresentados neste trabalho
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Abstract: The goal of this work is to present the connection matrix by establishing a parallel between the continuous and discrete settings. The homological Conley index, the main element in the definition of the connection matrix, has a diferent form for flows or continuous maps. This index is a...
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Abstract: The goal of this work is to present the connection matrix by establishing a parallel between the continuous and discrete settings. The homological Conley index, the main element in the definition of the connection matrix, has a diferent form for flows or continuous maps. This index is a graded vector space in the continuous case whereas in the discrete case it takes the form of a pair consisting of a graded vector space together with an isomorphism. Consequently, the connection matrix for a Morse decomposition is defined diferently when we consider continuous or discrete dynamical systems. In the prior case, the connection matrix is a matrix of linear maps between the continuous Conley homology indices of Morse sets which codes the information of a graded vector space braid known as the continuous homology index braid. In the latter case, the connection matrix is a pair of matrices where the entries in both case are linear maps de?ned between the discrete Conley homology indices of Morse sets and, in this setting, this pair of matrices codes the information of a graded vector space braid with isomorphism known as discrete homology index braid. Although the Conley homology index and the connection matrix constitute purely algebraic elements, they are capable of providing dynamical information of a fow and of a continuous map. More precisely, these elements can detect the existence of connecting orbits among Morse sets of an isolated invariant set and examples of this situation are presented in this work.
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