Orientador : Alcibiades Rigas

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Ciencia da Computação

Resumo: A tese é composta essencialmente de quatro resultados sobre a geometria dos fibrados que são: Capítulo I. As métricas de Kaluza-Klein são métricas naturais de espaços totais fibrados. Tais métricas são definidas a partir de conexões. No caso de fibrados principais onde o grupo estrutural é...

Resumo: A tese é composta essencialmente de quatro resultados sobre a geometria dos fibrados que são: Capítulo I. As métricas de Kaluza-Klein são métricas naturais de espaços totais fibrados. Tais métricas são definidas a partir de conexões. No caso de fibrados principais onde o grupo estrutural é SO(3), S9 ou S1 e a variedade da base admite métrica com curvatura seccional positiva, é natural estudarmos, em razão das propriedades das submersões Rimannianas, a positividade da curvatura seccional de tais métricas. Tal estudo é feito para o fibrado de Hopf e uma classe particular de conexões que são as chamadas conexões auto-duais (instantons). Capítulo II. A condição da "fatness" para uma conexão em um fibrado principal é necessária para que esta conexão defina métricas de Kaluza-Klein com curvatura seccional positiva. Existem restrições topológicas fortes à existência de tais conexões fat. Sobre S4 existe apenas em um S3-fibrado principal que admite conexão fat que é o fibrado de Hopf. Este resultado é generalizado para variedades 4-dimensionais compactas e orientáveis, no sentido que sobre uma tal variedade existe um número finito de SO(4)-fibrados principais que admitem conexão SO(3)-fat. Capítulo III. Os espaços de Aloff-Wallach e os espaços de Eschenburg são exemplos dos mais interessantes de variedades que admitem curvatura seccional positiva. Obtemos que alguns dos espaços de Eschenburg são fibrados sobre o espaço CP2 com fibra espaços lenticulares generalizados. Capítulo IV. É obtido um gerador explícito do grupo de homotopia ?6(G2). Além disto, utilizando o conceito de índice exibimos também um gerador com entradas polinomiais do grupo de homotopia J15(SU(3)) e um gerador J17(SU(4))

Abstract: Chapter I. Kaluza-Klein are natural metrics spaces of fiber bundles. Such metrics are defined by connections. In the case of principal bundies where the structural group is SO(3), S4 or S9 and the base manifold admits a metric with positive sectional curvature, it is natural to study, by...

Abstract: Chapter I. Kaluza-Klein are natural metrics spaces of fiber bundles. Such metrics are defined by connections. In the case of principal bundies where the structural group is SO(3), S4 or S9 and the base manifold admits a metric with positive sectional curvature, it is natural to study, by the properties of Riemannian submersion, the positivity of sectional curvature of such metrics. This study is made for the Hopf bundle and the particular class of the self-dual connections (instantons). Chapter II. The condition of "fatness" for a connection in a principal fiber bundle is a necessary condition such that these conditions define Kaluza-Klein metrics with positive sectional curvature. There are strong topological restrictions for the existence. There are strong topological restrictions for the existence of fat connections. Over S4 there is only one principal S3 bundle that admits a fat connection, the Hopf bundle. This result is generalized for compact orientable 4-manifolds in the sense that there is a finite number of principal SO(4)-bundles that admit connections SO(3)-fat. Chapter III. The Aloff-Wallach spaces and the Eschenburg spaces are the most interesting examples of manifolds that admit positive sectional curvature. We obtain that someone of the Eschenburg spaces are fiber bundles over CP2 with fibre generalized lens spaces. Chapter IV. We obtain an explicit generator of the homotopy group ?6(G2). Furthermore, with the concept of indice we were able to exibit two orbits of the conjugation action of G2 that aren't homeotherphic. We also obtain a generator, with polynomial entries of the homotopy group J15(SU(3) and a generator of Ji7(SU(4))