Resumo: Nesta dissertação, estudamos as aplicações de splines construídos sobre grades diádicas na aproximação de funções e solução de equações diferenciais. Nosso foco principal é a simulação de escoamento de petróleo em reservatórios naturais. Uma grade diádica é construída através de divisões sucessivas de uma célula raiz retangular, sempre pela metade, alternando a direção do corte ciclicamente pelos eixos de coordenadas. Desta forma, os splines diádicos podem ser refinados adaptativamente de acordo com as funções a serem aproximadas, até que satisfaçam o grau de precisão exigido. As grades diádicas também possuem uma estrutura muito simples e podem ser representadas e manipuladas computacionalmente com grande eficiência e facilidade. Trabalhamos em particular com uma família de splines diádicos multilineares e contínuos para uma grade arbitrária G, que denominamos por [1 [G]. Desenvolvemos algoritmos que geram duas bases padrões de elementos finitos (tendas diádicas) Bmax e Bmin para estes espaços. Para testarmos as potencialidades dos espaços [l[G], realizamos experimentos numéricos utilizando a técnica de aproximação por mínimos quadrados, e resolvemos alguns casos de equações diferenciais parciais lineares. Nestes experimentos, estudamos o uso de malhas diádicas de resolução variável no espaço e no tempo. Concluímos que grades adaptativas podem produzir os mesmos resultados que uma grade uniforme fina, a uma fração do custo. A última parte deste trabalho descreve em detalhes a construção e teste de um simulador para escoamento bifásico óleo/água (Simóleo), baseado em grades diádicas adaptativas. Revisamos, em linhas gerais, as equações que regem este processo, e sua discretização pelo método de elementos finitos (Galerkin). Desta forma, obtemos um sistema de equações diferenciais não linear, dependente do espaço e do tempo, que resolvemos de maneira iterativa. O desempenho do Simóleo foi avaliado utilizando um modelo popular de reservatório (5 poços) Ver menos

Abstract: ln this dissertation we study the application of splines built over dyadic grids for function approximation and integration of differential equations. Our main focus is the simulation of oil flow in natural reservoirs. A dyadic grid is built by recursively splitting a rectangular root cell into equal halves, alternating the orientation of the cut cyclically over the coordinate axis. Therefore, dyadic splines may be refined adaptatively to fit the functions they are approximating, until a certain precision leveI is reached. Dyadic grids also have a simple structure which may be easily and efficiently represented and manipulated by computers. We worked in particular with a family of multilinear and continuous dyadic splines for a certain grid G, denoted by [1[G]. Algorithms were developed to build two standard basis of finite el¿ments (dyadic tents), Bmax and Bmin, for such function spaces. In order to test the potentialities of the spaces [1 [G], we performed some numerical experiments of least squares approximations and integration of linear partial differential equations. In these experiments, we studied the use of adaptive dyadic grids, whose resolution varies in time and space. We conclude that adaptive grids can produce the same results as a fine uniform grid, at a fraction of the cost. The last part of this work describes in detail the development and tests of an oiljwater flow simulator (Simóleo), based on adaptive dyadic grids. We review the oil flow equations, and their discretization by the finite element (Galerkin) method. Thus, we obtain a non linear differential equation system, depending on space and time, which we solve iteratively. The program's performance is measured with experiments using a popular reservoir model (5-spot) Ver menos