Elipses de curvatura no estudo de superficies imersas em Rn, n [maior ou igual] 5
Simone Maria de Moraes
TESE
Português
(Broch.)
T/UNICAMP M791e
Campinas, SP : [s.n.], 2002.
94p. : il.
Orientador : Sueli Irene Rodrigues Costa
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica
Resumo: Dada uma superfície imersa em Rn, n= 4, podemos associar a cada ponto p ? M uma elipse, chamada a elipse de curvatura de M em p, definida como sendo o local geométrico de todos os pontos finais dos vetares curvatura das seções normais ao longo de todas as direções tangentes a M em p. O...
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Resumo: Dada uma superfície imersa em Rn, n= 4, podemos associar a cada ponto p ? M uma elipse, chamada a elipse de curvatura de M em p, definida como sendo o local geométrico de todos os pontos finais dos vetares curvatura das seções normais ao longo de todas as direções tangentes a M em p. O conceito de elipse de curvatura já é incluido em [36] de Moore e Wilson e amplamente utilizado par Little em [24] para caracterização de propriedades geométricas de superfícies em IR4. Neste trabalho estendemos o conceito para superfícies imersas em Rn, n =: 5, estabelecemos novas expressões que podem ser obtidas para parametrizações quaisquer da imersão. Em certos pontos de M esta elipse pode se degenerar em um segmento (pontos semiumbílicos de M), ou se degenerar em um ponto (pontos umbílicos de M). Através desta classificação dos pontos de M estudamos os pontos singulares de segunda ordem no sentido de Feldman da imersão [11]. Analisamos casos locais considerando a parametrização da imersão na forma de Monge, apresentamos as possíveis elipses de curvatura através do parabolóide osculador associado à superfície em um dado ponto. Alguns casos globais são analisados através da aplicação de Veronese de ordem e dimensão 2. Ainda por meio da classificação dos pontos da superfície em termos da elipse de curvatura (degenerada ou não) estabelecemos condições para que uma superfície imersa em IRn, n = 5, tenha contato de ordem 2=2 com k-planos ou k-esferas, 2=; k=; 4, em cada ponto. Estendemos as noções de umbilicidade, linhas de curvatura e configurações principais relativamente à direções normais em cada ponto da superfície, relacionando estes conceitos com direções no subespaço normal determinado pela elipse de curvatura e o respectivo subespaço normal complemento ortogonal. Caracterizamos semiumbilicidade total em termos de umbilicidade e configurações principais. Definimos direções binormais, assintóticas e convexidade local, fazendo um estudo análogo ao já conhecido para superfícies em IR4. Introduzimos o conceito de direção normal essencial, obtendo uma caracterização de convexidade local especial que nos possibilita determinar o número de direções binormais (essenciais) e assintóticas (essenciais) em cada ponto da superfície. Finalmente, obtemos algumas conclusões relacionando a existência de imersões regulares de superfícies de ordem 2 (no sentido de Feldman) e a existência campos normais essenciais globalmente definidos sobre superfícies em IRn, n = 5
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Abstract: Given a surface M immersed in IRn, n 2:=4, we can associate at each point p ? M one ellipse, called the curvature ellipse of M at p, defined as the locus of all .the end points of the curvature vectõrs of the normal sections along all the tangent directions to M at p. The curvature ellipse...
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Abstract: Given a surface M immersed in IRn, n 2:=4, we can associate at each point p ? M one ellipse, called the curvature ellipse of M at p, defined as the locus of all .the end points of the curvature vectõrs of the normal sections along all the tangent directions to M at p. The curvature ellipse has been included in [36] by Moore and Wilson and used by Little in [24] to characterize geometric properties of surfaces in IR4 o Our purpose here is to extend this concept to the case of surfaces immersed in IRn, n =5 We establish new expressions for the curvature ellipse, which are suitable for arbitrary parametrizations of the surface. At certain points of M this ellipse may degenerate becoming a segment (semiumbilic points of M) or even into a point (umbilic points of M) o A classification of points of M is used to discuss singular points of order two of the immersion in the sense of Feldman. Local cases are studied through the Monge form parametrization of the immersion. The possibilities for curvature ellipses are presented by considering the osculating paraboloid associated to the surface. Some global cases are analyzed through the Veronese map of order and dimension two. Yet by means of the classification of the points of the surface by its curvature ellipse (degenerated or not) we establish conditions that an immersed surface must satisfy in order to have contact of order at least two contact with k-planes and k-spheres, k = 4, at each point. The concepts of umbilicity, curvature lines and principal configurations relatively to the normal directions at each point of the surface are extend and related to normal directions lying on the normal subspace determined by the curvature ellipse and the corresponding orthogonal complement. Total semiumbilicity is characterized in terms of umbilicity and principal configurations. The concepts of binormal and asymptotic directions and local convexity are introduced and studied by analogy with to the well know case of surfaces in IR4. We introduced the notion of essential normal direction and see that this concept provides a criterion for determining the number of binormal (essential) and asymptotic (essential) directions at each point of surface. Some conclusions relating the existence of regular immersions of order two of surfaces in IRn, n = 5, in the sense Feldman to the existence that of essential normal fields globally defined over the surfaces in IRn, n = 5, are then obtained.
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Costa, Sueli Irene Rodrigues
Orientador
Ruas, Maria Aparecida Soares
Avaliador
Mochida, Dirce Kiyomi Hayashida
Avaliador
Teixeira, Marco Antonio, 1944-
Avaliador
Garcia, Ronaldo Alves
Avaliador
Elipses de curvatura no estudo de superficies imersas em Rn, n [maior ou igual] 5
Simone Maria de Moraes
Elipses de curvatura no estudo de superficies imersas em Rn, n [maior ou igual] 5
Simone Maria de Moraes
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