Resumo: O propósito desta tese é estudar, sob o ponto de vista algébrico, o papel desempenhado pelos operadores diferenciais nos formalismos variacionais Lagrangeano e Hamiltoneano. Apresentamos uma aplicação simples das idéias e resultados básicos da teoria dos operadores diferenciais às álgebras de Clifford, obtendo uma relação entre os operadores diferenciais e o operador de Dirac. Introduzimos um formalismo Hamiltoneano, com base nos módulos de símbolos dos operadores diferenciais, generalizando os resultados para anéis comutativos. Nesse formalismo, encontramos importantes propriedades algébricas para a Hamiltoneana, e destacamos o colchete de Poisson como uma estrutura mais básica que a forma simplética canônica. Introduzimos o conceito de adjunta de um operador diferencial e, por meio dela, caracterizamos as formas integrais em termos das formas de Berezin. Obtemos uma seqüência espectral relacionando a cohomologia das formas integrais com a cohomologia de De Rham, tanto para variedades quanto para supervariedades. Introduzimos o conceito de Lagrangeana, e analisamos sua relação com as formas de Berezin. Nesse contexto, estudamos as leis de conservação, e obtemos um equivalente algébrico para o Teorema de Noether. Finalmente, essas construções nos encaminham rumo a uma versão algébrica para o teorema do índice Ver menos

Abstract: The purpose of this thesis is to study, from the algebraic viewpoint, the rule played by the differential operators in Lagrangian and Hamiltonian variational formalisms. We present a simple application of the basic ideas and results form the theory of differential operators to the Clifford algebras, from where we obtain a relationship between differential operators and the Dirac operator. We introduce a Hamiltonian formalism based on the symbol modules, generalizing some results to commutative rings. In this formalism we find important algebraic properties for the Hamiltonian and notice that the Poisson bracket is a more fundamental structure than the canonical sympletic form. We introduce the concept of adjoint of a differential operator and by means of it we are able to charactrize the integral forms in terms of Berezin forms. We obtain a spectral sequence relating the cohomology of integral forms to the De Rham cohomology, for both manifolds and supermanifolds. In this context, we study the con- servation laws and obtain an algebraic equivalent to the Noether theorem. Finally, these constructions direct us towards an algebraic version to the index theorem Ver menos