Resumo: A observação de fenômenos físicos ou biológicos leva a estudos interessados em explicar ou predizer o comportamento desses sistemas ao longo do tempo ou as variações observadas em seus modelos. Modelos matemáticos desenvolvidos a partir de observações são concebidos com base em leis físicas estabelecidas e são compostos por parâmetros, que podem ser medidos inicialmente ou não, além de poderem apresentar comportamentos fixos ou aleatórios. Este trabalho tem como objetivo estimar parâmetros de um modelo matemático computacional, concebido a partir de um oscilador harmônico translacional não amortecido, descrito pela Equação de Duffing, utilizando a metodologia para modelos de efeitos mistos não lineares (NLME) implementada no pacote computacional NLMEModeling. Para isso, foram gerados dados sintéticos com valores de parâmetros conhecidos, visando recuperar tais valores através da análise do modelo. Considerando um período de oscilação igual a 2,0 segundos, os parâmetros foram analisados numericamente a partir de 51 chutes iniciais variando entre 1,500 e 2,250 segundos, com variância e erro de observação iguais a 0,1², ambos não correlacionados. O modelo inicialmente desenvolvido foi o oscilador harmônico simples. Neste modelo, a estimação de parâmetros mostrou-se sensível a pequenas variações nos erros inerentes às observações e aos efeitos aleatórios, representados pelas matrizes S e O, além da obtenção de um grande número de mínimos locais. Para o segundo modelo, estudou-se o efeito numérico da adição de estocasticidade como regularização da função de máxima verossimilhança, resultando em comportamento menos sensível e estimações mais robustas em comparação ao modelo determinístico, com redução no número de mínimos locais — uma dificuldade comum na estimação de parâmetros em sistemas de equações diferenciais ordinárias com soluções oscilatórias. No entanto, a adição de estocasticidade ao oscilador harmônico simples causa incremento de energia no sistema. Assim, o terceiro modelo proposto foi o oscilador harmônico não estocástico e amortecido, que apresentou desempenho satisfatório na estimação dos parâmetros em relação ao número de mínimos locais. O quarto e último modelo estudado foi o oscilador harmônico fracamente não linear, não amortecido e estocástico, descrito pela Equação de Duffing, visando investigar a influência do parâmetro cúbico não linear. Tal modelo revelou-se computacionalmente complexo e desafiador, com apenas 25% das estimações convergindo para um mínimo local estável Ver menos

Abstract: The observation of physical or biological phenomena leads to studies aimed at explaining or predicting the behavior of these systems over time or the variations observed in their models. Mathematical models developed from observations are based on established physical laws and are composed of parameters, which may or may not be initially measured, and may exhibit fixed or random behavior. This work aims to estimate parameters of a computational mathematical model conceived from a non-damped translational harmonic oscillator, described by the Duffing Equation, using the methodology for nonlinear mixed-effects models (NLME) implemented in the NLMEModeling computational package. To this end, synthetic data were generated with known parameter values, aiming to recover such values through model analysis. Considering an oscillation period equal to 2,0 seconds, the parameters were analyzed numerically from 51 initial guesses ranging between 1,500 and 2,250 seconds, with variance and observation error both equal to 0,1², and uncorrelated. The initially developed model was the simple harmonic oscillator. In this model, parameter estimation proved to be sensitive to small variations in errors inherent to observations and random effects, represented by the S and O matrices, as well as resulting in a large number of local minima. For the second model, the numerical effect of adding stochasticity as a regularization of the likelihood function was studied, resulting in less sensitivity and more robust estimations compared to the deterministic model, through a reduction in the number of observed local minima — a common difficulty in parameter estimation in ordinary differential equation systems with oscillatory solutions. However, the addition of stochasticity to the simple harmonic oscillator causes an increase in the system’s energy. Thus, the third proposed model was a non-stochastic, damped harmonic oscillator, which showed satisfactory performance in parameter estimation with respect to the number of observed local minima. The fourth and final model studied was the weakly nonlinear, non-damped, and stochastic harmonic oscillator, described by the Duffing Equation, aiming to investigate the influence of the cubic nonlinear parameter. This model proved to be computationally complex and challenging, with only 25% of the estimations converging to a stable local minimun Ver menos