Resumo: Esta tese investiga a sequência de lacunas nos pontos das órbitas curtas da curva de Artin-Mumford sobre $\mathbb{\bar{F}}_p$, para um número primo ímpar $p>0$. Primeiro, caracterizamos as órbitas curtas sob a ação do grupo de automorfismos da curva, que contêm, respectivamente, pontos $\mathbb{F}_p$-racionais, pontos $\mathbb{F}_{p^2}$-racionais e pontos $\mathbb{F}_{p^p}$-racionais. Usando uma abordagem convencional, determinamos a sequência completa de lacunas em pontos da órbita curta que contém apenas pontos racionais sobre $\mathbb{F}_{p}$. Para pontos nas outras órbitas curtas, utilizamos a cônica osculadora para identificar lacunas específicas e estabelecer vários conjuntos contendo lacunas sequenciais. No último capítulo, ilustramos aplicações desses resultados para $p=3$ e $p=5$, examinando a classicalidade da curva nesses casos. Essas investigações, em particular a abordagem da cônica osculadora, contribuem para o desenvolvimento de técnicas para encontrar sequências de lacunas em pontos de curvas algébricas planas Ver menos

Abstract: This work of thesis explores the gap-sequence at some points of the Artin-Mumford curve $\mathcal{M}$ over $\mathbb{\bar{F}}_p$ for an odd prime $p>0$. We first characterize the three short orbits under the action of the automorphism group ${\rm Aut}(\mathcal{M})$; these contain, respectively, $\mathbb{F}_p$ -rational points, $\mathbb{F}_{p^2}$ -rational points, and $\mathbb{F}_{p^p}$ -rational points. We first determine the complete gap-sequence at points on the short orbit containing only $\mathbb{F}_{p}$-rational points. For points in the other two orbits, we make use of the osculating conic in order to identify specific gaps and establish several sets containing sequential gaps. In the final chapter, we illustrate applications of these results for $p=3$ and $p=5$, examining the classicality of the curve in these cases. These findings, particularly the osculating conic approach, contribute to the ongoing development of techniques for analyzing gap sequences at points on algebraic plane curves Ver menos