Resumo: O presente trabalho é desenvolvido em duas partes distintas. Na primeira parte tratamos da questão de analizar conexões deslizantes de Shilnikov, um tipo de conexão homoclínica no contexto de campos vetoriais suaves por partes, seguindo a convenção de Filippov. A partir da caracterização pelo objeto abstrato de sistemas conformes de funções iteradas (ou Conformal Iterated Function Systems, geralmente abreviado como CIFS ), utilizamos as ferramentas da teoria para investigar propriedades locais de caráter dinâmico, topológico e geométrico do conjunto invariante do sistema dinâmico gerado pela conexão deslizante de Shilnikov, principalmente a dimensão de Hausdorff e a existência de medidas conformes relacionadas à dinâmica em questão. Na segunda parte, estudamos o conceito de equações de diferenças lineares, em particular a noção de dicotomia exponencial, que caracteriza um comportamento de crescimento com taxas exponenciais de contração e expansão. Em particular, focamos em equações com atraso infinito, onde a imagem de um ponto possivelmente depende de todos os tempos anteriores. A partir daí, utilizamos o conceito de cociclos, onde definimos sua hiperbolicidade, e associamos a uma equação um cociclo. Deduzimos então o resultado principal, onde se caracteriza a equivalência entre a dicotomia exponencial de uma equação e a hiperbolicidade do cociclo associado a ela. Também são apresentados exemplos e aplicações do resultado Ver menos

Abstract: This work is developed in two distinct parts. In the first part, we analyze sliding Shilnikov connections, a type of homoclinic connection in the context of piecewise smooth vector fields, following Filippov’s convention. From the characterization by the abstract object of conformal iterated function systems, usually abbreviated as CIFS, we utilize theoretical tools to investigate local properties of a dynamic, topological, and geometric nature of the invariant set of the dynamical system generated by the Shilnikov sliding connection, mainly the Hausdor! dimension and the existence of conformal measures related to the dynamics in question. In the second part, we study the concept of linear di!erence equations, particularly the notion of exponential dichotomy, which characterizes a growth behavior with exponential rates of contraction and expansion. Specifically, we focus on equations with infinite delay, where the image of a point may depend on all previous times. From there, we utilize the concept of cocycles, where we define their hyperbolicity and associate a cocycle with an equation. We then deduce the main result, which characterizes the equivalence between the exponential dichotomy of an equation and the hyperbolicity of the associated cocycle. Examples and applications of the result are also presented Ver menos