Resumo: Nesta tese de doutorado, inicialmente introduzimos os espaços de modulação-Lorentz e obtemos algumas propriedades algébricas, propriedades de inclusão com espaços clássicos, interpolação e ação de alguns operadores sobre tais espaços, com destaque para os operadores do tipo composição. Em seguida estudamos a existência e unicidade de soluções nesses espaços para uma classe de equações elípticas não-lineares em todo R^n, onde as não-linearidades dependem da solução u e seu gradiente via a composição com uma função g. Exemplos de não-linearidades que vamos cobrir são u^p, |u|^p, |\grad u|^p entre outras funções de u satisfazendo condições em suas séries de potências ou do tipo Lipschitz. Em particular, valores grandes de p serão cobertos. Além disso, obtemos algumas propriedades para as soluções, isto é, dependendo dos dados, soluções podem ser distribuições homogêneas, radialmente simétricas ou positivas. O segundo problema trata-se de um problema de fronteira no semi-espaço R^n_+ para uma classe de equações elípticas não-homogêneas com condições de fronteira não-lineares. Dentro do domínio há uma ação de uma não-linearidade que depende de derivadas fracionárias. Obtemos resultados de existência, unicidade, regularidade e simetria via uma abordagem não-variacional que consiste em um argumento de contração em espaços do tipo Chamin-Lerner definidos a partir dos espaços de Fourier-Besov e espaços fracionários do tipo Fourier-Sobolev. Assim, os resultados fornecem uma nova escala de espaços no contexto de EDPs elípticas, a qual nos leva a novas classes de soluções, potenciais e termos forçantes, bem como cobrem potências super-críticas na fronteira e no interior do domínio Ver menos

Abstract: In this doctoral thesis, we introduce the modulation-Lorentz spaces and give some algebraic properties, inclusions with classic spaces, interpolation and the action of some operators on those spaces, with emphasis on composition-type operators. Then we study the existence and uniqueness of solutions in those spaces to a class of nonlinear elliptic equations in R^n, where the nonlinearities depend on the solution u and its gradient via the composition with a function g. Examples of nonlinearities that we are going to cover are u^p, |u|^p, |\grad u|^p among other functions of u (and its gradient) satisfying conditions in their power series or of Lipschitz-type. In particular, large values of p are covered by results. Moreover, we obtain some properties of the solution, that is, it can be an homogeneous, radially symmetric or positive distribution, depending on the data. The second problem considered by us is a boundary value problem in the half-space R^n_+ for a class of nonhomogeneous elliptic equations with nonlinear boundary conditions. Within the domain there is an action of a nonlinearity that depends on fractional derivatives. We obtain results on existence, uniqueness, regularity and symmetry via a non-variational approach that consists in an argument of contraction in spaces of Chamin-Lerner based on spaces of Fourier-Besov and fractional Fourier-Sobolev types. Thus, the results provide a new scale of spaces in the context of elliptic PDEs, which leads us to new classes of solutions, potentials and forcing terms, as well as cover super-critical powers on the boundary and interior of the domain Ver menos