On the self-similar blowup for the generalized SQG equation

Ricardo Martins Mendes Guimarães

On the self-similar blowup for the generalized SQG equation

Ricardo Martins Mendes Guimarães

Material

TESE

Idioma

Inglês

Número de chamada

T/UNICAMP G947o

Outros títulos

[Estudo de soluções autossimilares da equação SQG generalizada]

Publicação

Campinas, SP : [s.n.], 2024.

Descrição física

1 recurso online (87 p.) : il., digital, arquivo PDF.

Nota geral

Orientadores: Anne Caroline Bronzi, Cecília Freire Mondaini

Nota de dissertação ou tese

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo Resumo: Questões relacionadas à existência de soluções suaves globais no tempo ou à possibilidade de desenvolverem singularidades em tempo finito para determinadas equações na dinâmica dos fluidos podem ser desafiadoras e complexas. Neste trabalho, analisamos possíveis cenários de formação de... Ver mais Resumo: Questões relacionadas à existência de soluções suaves globais no tempo ou à possibilidade de desenvolverem singularidades em tempo finito para determinadas equações na dinâmica dos fluidos podem ser desafiadoras e complexas. Neste trabalho, analisamos possíveis cenários de formação de singularidade autossimilar para a equação quase geostrófica de superfície generalizada (gSQG) em duas dimensões. Mostramos que, sob uma condição no crescimento da norma $L^r$ do perfil autossimilar e seu gradiente, o perfil autossimilar é identicamente zero ou seu comportamento assintótico $L^p$ pode ser caracterizado, para $p$ e $r$ adequados, em intervalos apropriados do parâmetro autossimilar. Este resultado generaliza e melhora o resultado análogo provado para a equação SQG em \cite{Xue16}, e recupera os resultados provados em \cite{CX15}, relativos às soluções globalmente autossimilares da equação gSQG. Também analisamos a equação gSQG com dissipação fracionária, generalizando o resultado provado em \cite{Chae11}, o qual exclui a possibilidade de singularidade globalmente autossimilar em tempo finito para a equação SQG dissipativa, sob certas condições no perfil. Mais precisamente, assumindo que o gradiente do perfil autossimilar decai a zero no infinito e a parte simétrica do gradiente da velocidade autossimilar é limitada nos pontos de máximo do gradiente do perfil autossimilar, provamos que o perfil autossimilar é identicamente nulo em $\R^2.$ Ver menos

Abstract: Questions related to the existence of global smooth solutions over time or the possibility of developing singularities in finite time for certain equations in fluid dynamics can be challenging and complex. In this work, we analyze possible scenarios of self-similar singularity formation... Ver mais Abstract: Questions related to the existence of global smooth solutions over time or the possibility of developing singularities in finite time for certain equations in fluid dynamics can be challenging and complex. In this work, we analyze possible scenarios of self-similar singularity formation for the generalized surface quasi-geostrophic equation (gSQG) in two dimensions. We show that, under a condition on the growth of the $L^r$ norm of the self-similar profile and its gradient, the self-similar profile is identically zero or its asymptotic $L^p$ behavior can be characterized, for suitable $p$ and $r$, in appropriate intervals of the self-similar parameter. This result generalizes and improves the analogous result proven for the SQG equation in \cite{Xue16}, and recovers the results proven in \cite{CX15}, related to globally self-similar solutions of the gSQG equation. We also analyze the gSQG equation with fractional dissipation, generalizing the result proven in \cite{Chae11}, which excludes the possibility of globally self-similar singularity in finite time for the dissipative SQG equation, under certain conditions on the profile. More precisely, assuming that the gradient of the self-similar profile decays to zero at infinity and the symmetric part of the self-similar velocity gradient is bounded at the maximum points of the self-similar profile, we prove that the self-similar profile is identically zero in $\R^2.$ Ver menos

Direito de acesso

Aberto

Assuntos

Equação quase-geostrófica

Laplaciano fracionário

Potencial de Riesz

Autossimilaridade

Singularidades (Matemática)

Dinâmica dos fluidos

Autoria

Guimarães, Ricardo Martins Mendes, 1992-

Bronzi, Anne Caroline, 1984- Orientador