Invariant tori, boundedness of solutions, and periodic orbits in a class of non-smooth oscillators
Luan Vinicio de Mattos Ferreira Silva
TESE
Multilíngua
T/UNICAMP Si38i
[Toros invariantes, limitação de soluções e órbitas periódicas em uma classe de osciladores não suaves]
Campinas, SP : [s.n.], 2024.
1 recurso online ( p.) : il., digital, arquivo PDF.
Orientador: Douglas Duarte Novaes
Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica
Resumo: Desde os anos 60, a limitação das soluções das equações de Duffing $ \ddot{x} +g(x)=p(t)$ tem sido um importante objeto de pesquisa em sistemas dinâmicos. Isso se deve, principalmente, ao matemático John E. Littlewood, que propôs a investigação de condições sobre as funções $ g(x) $ e $ p(t)...
Ver mais
Resumo: Desde os anos 60, a limitação das soluções das equações de Duffing $ \ddot{x} +g(x)=p(t)$ tem sido um importante objeto de pesquisa em sistemas dinâmicos. Isso se deve, principalmente, ao matemático John E. Littlewood, que propôs a investigação de condições sobre as funções $ g(x) $ e $ p(t) $ para determinar a limitação de todas as soluções da equação de Duffing. Nesse contexto, uma estratégia crucial é determinar a existência de toros invariantes no espaço de fase estendido da equação diferencial, confinando toda a dinâmica na região delimitada pelos mesmos. Assumindo $ p(t) $ como uma função $ \sigma $-periódica, pretendemos estudar a existência de toros invariantes para a família de equações diferenciais descontínuas de segunda ordem \[ {\bf (\mathcal{F}):} \quad \ddot{x}+\mu\;\sgn(x)= \theta x +\varepsilon \; p(t), \] em que $ \theta$ e $ \varepsilon $ são parâmetros reais, $ \sgn(x) $ representa a função sinal usual e $ \mu\in\{-1,1\} $ é um parâmetro modal, nos casos em que a equação não perturbada ($ \varepsilon=0 $) admite um anel de órbitas periódicas. Mais precisamente, assumindo $ \theta\neq0 $, recorremos à Teoria KAM para investigar a existência de toros invariantes de $ {\bf (\mathcal{F})} $. Neste caso, é necessário que $ p(t) $ seja suficientemente diferenciável. Para $ \theta=0 $, tomando $ p(t) $ como uma função Lebesgue integrável com média zero, constatamos a existência de toros invariantes por meio de um método construtivo e não perturbativo. Tais resultados fornecem condições para a limitação de todas as soluções que se iniciam em tais toros ou nas regiões delimitadas pelos mesmos, bem como condições para a existência de órbitas periódicas. Por fim, para efeito de completude, desenvolvemos uma análise de Melnikov para a classe mais geral de equações diferenciais dadas por $ \ddot{x}+\alpha\;\sgn(x)= \theta x +\varepsilon \; f(t,x,\dot{x})$, em que $ \alpha\neq0 $ e $ f(t,x,\dot{x}) $ é uma função de classe $ \mathcal{C}^{1} $ e $ \sigma $-periódica em $ t$, com o objetivo de detectar órbitas periódicas que bifurcam dos anéis periódicos da equação diferencial
Ver menos
Abstract: Since the 1960s, the boundedness of solutions of the Duffing-type equations $ \ddot{x} +g(x)=p(t)$ has been a significant research focus in dynamical systems. This is primarily attributed to mathematician John E. Littlewood, who proposed investigating conditions on the functions $ g(x) $...
Ver mais
Abstract: Since the 1960s, the boundedness of solutions of the Duffing-type equations $ \ddot{x} +g(x)=p(t)$ has been a significant research focus in dynamical systems. This is primarily attributed to mathematician John E. Littlewood, who proposed investigating conditions on the functions $ g(x) $ and $ p(t) $ to determine the boundedness of all solutions to the Duffing-type equation. In light of this, a crucial strategy is to establish the existence of invariant tori in the extended phase space of the differential equation, confining all the dynamics in the interiors of the regions delimited by them. Assuming $ p(t) $ to be a $ \sigma $-periodic function, we aim to study the existence of invariant tori for the family of second-order discontinuous differential equations \[ {\bf (\mathcal{F}):} \quad \ddot{x}+\mu\;\sgn(x)= \theta x +\varepsilon \; p(t), \] where $ \theta $ and $ \varepsilon $ are real parameters, $ \sgn(x) $ represents the usual sign function, and $ \mu\in\{-1,1\} $ is a modal parameter. We focus on cases where the unperturbed equation ($ \e=0 $) admits a ring of periodic orbits. More precisely, assuming $ \theta\neq0 $, we employ KAM theory to investigate the existence of invariant tori for $ {\bf (\mathcal{F})} $. In this case, $ p(t) $ is required to be sufficiently differentiable. For $ \theta=0 $, considering $ p(t) $ as a Lebesgue-integrable function with vanishing average, we establish the existence of invariant tori through a constructive and non-perturbative method. These results provide conditions for the boundedness of solutions that initiate either on these tori or in the interiors of the regions delimited by them, as well as conditions for the existence of periodic orbits. Finally, for the sake of completeness, we perform a Melnikov analysis on a more general class of differential equations given by $ \ddot{x}+\alpha\;\sgn(x)= \theta x +\varepsilon \; f(t,x,\dot{x})$, where $ \alpha\neq0 $ and $ f(t,x,\dot{x}) $ is a function of class $ \mathcal{C}^{1} $ and $ \si $-periodic in $ t$, aiming to detect bifurcating periodic orbits of the differential equation
Ver menos
Aberto
Novaes, Douglas Duarte, 1988-
Orientador
Martins, Ricardo Miranda, 1983-
Avaliador
Buzzi, Claudio Aguinaldo
Avaliador
Braun, Francisco
Avaliador
Messias, Marcelo
Avaliador
Invariant tori, boundedness of solutions, and periodic orbits in a class of non-smooth oscillators
Luan Vinicio de Mattos Ferreira Silva
Invariant tori, boundedness of solutions, and periodic orbits in a class of non-smooth oscillators
Luan Vinicio de Mattos Ferreira Silva