Orientador: Bianca Morelli Rodolfo Calsavara

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica

Resumo: Neste trabalho apresentamos um estudo sobre controlabilidade local exata à trajetória para um sistema de equações diferenciais parciais que modela um processo de solidificação/fusão e consiste em uma equação do tipo campo de fase acoplada a um sistema Navier-Stokes-Boussinesq. Provamos que,...

Resumo: Neste trabalho apresentamos um estudo sobre controlabilidade local exata à trajetória para um sistema de equações diferenciais parciais que modela um processo de solidificação/fusão e consiste em uma equação do tipo campo de fase acoplada a um sistema Navier-Stokes-Boussinesq. Provamos que, sob certas condições, o sistema é controlável à trajetória, com controles agindo apenas nas equações de velocidade e temperatura. Um primeiro passo é provar a desigualdade de Carleman para o sistema adjunto de uma versão linearizada do sistema. Combinando desigualdades de Carleman com estimativas de energia, conseguimos uma desigualdade de observabilidade, o que leva à controlabilidade nula do sistema linearizado no tempo T > 0. O resultado de controlabilidade do sistema não linear segue por um teorema de função inversa, o Teorema de Lyusternik. Estabelecemos ainda uma relação entre controle ótimo e controlabilidade. Mais precisamente, provamos que uma sequência de soluções de certo problema de controle ótimo converge para uma solução do problema de controlabilidade descrito

Abstract: In this work we present a study on exact local controllability to the trajectory for a partial differential equations system that models a solidification/melting process consisting of a phase field equation coupled to a Navier-Stokes-Boussinesq system. We proved that, under suitable...

Abstract: In this work we present a study on exact local controllability to the trajectory for a partial differential equations system that models a solidification/melting process consisting of a phase field equation coupled to a Navier-Stokes-Boussinesq system. We proved that, under suitable conditions, the system is controllable to trajectory, with controls acting only on the motion and temperature equations. The first step is to prove Carleman’s inequality for the adjoint system of a linearized version of the system. Combining Carleman’s inequalities with energy estimates, we achieve an observability inequality, which leads to null controllability of a linearized system at time T > 0. The controllability result of the nonlinear system is obtained by using an inverse function theorem, the Lyusternik Theorem. We also established a relationship between optimal control and controllability. More precisely, we prove that a sequence of solutions of a certain optimal control problem converges to a solution of the described controllability problem

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