Orientador: Marcos Benevenuto Jardim

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo: O anel de Grothendieck de variedades é uma construção essencial na Geometria Algébrica. É formado tomando o conjunto de todas as classes de isomorfismo de variedades algébricas e definindo uma estrutura de anel sobre esse conjunto. Essa estrutura tem implicações significativas em vários...

Resumo: O anel de Grothendieck de variedades é uma construção essencial na Geometria Algébrica. É formado tomando o conjunto de todas as classes de isomorfismo de variedades algébricas e definindo uma estrutura de anel sobre esse conjunto. Essa estrutura tem implicações significativas em vários ramos da Geometria Algébrica, em particular, o Anel de Grothendieck pode ser utilizado para provar teoremas sobre variedades, estudar suas propriedades algébricas e geométricas e classificar variedades com base em suas propriedades no anel. Além disso, está intimamente relacionado com a Geometria Birracional e a Teoria das Singularidades, e desempenha um papel central na Teoria de Integração Motívica. Tendo em vista sua importância, este trabalho tem como objetivo principal apresentar o anel de Grothendieck de variedades, estudar propriedades e explorar resultados que permitem o cálculo de classes de variedades neste anel. Mais ainda, a fim de explicitar a relação entre a Geometria Birracional e o anel de Grothendieck, será mostrado que a racionalidade estável de uma variedade suave e própria sobre um corpo de característica zero pode ser detectada na classe da variedade no anel de Grothendieck. Entretanto, para realizar este estudo, faremos uso de ferramentas básicas de Geometria Algébrica e, por isso, também serão apresentados conceitos, resultados e exemplos de variedades algébricas e esquemas

Abstract: The Grothendieck Ring of Varieties is a fundamental construction in Algebraic Geometry. It is formed by taking the set of all isomorphism classes of varieties and defining a ring structure on this set. This structure has significant implications in various branches of Algebraic Geometry....

Abstract: The Grothendieck Ring of Varieties is a fundamental construction in Algebraic Geometry. It is formed by taking the set of all isomorphism classes of varieties and defining a ring structure on this set. This structure has significant implications in various branches of Algebraic Geometry. In particular, the Grothendieck Ring can be used to prove theorems about varieties, study their algebraic and geometric properties, and classify varieties based on their properties in the ring. Furthermore, it is closely related to Birational Geometry and the Theory of Singularities, and it also plays a central role in the Theory of Motivic Integration. Given its importance, the main objective of this work is to present the Grothendieck Ring of Varieties, study its properties, and explore results that allow for the computation of classes of varieties in this ring. Moreover, to elucidate the relationship between Birational Geometry and the Grothendieck Ring, it will be shown that the stable rationality of a smooth and proper variety over a field of characteristic zero can be detected in the class of the variety in the Grothendieck Ring. However, to achieve this study, we will employ basic tools of Algebraic Geometry, therefore, we will also introduce concepts, results, and examples of algebraic varieties and schemes

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