Orientador: Douglas Duarte Novaes

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica

Resumo: A segunda parte do 16º Problema de Hilbert diz respeito ao número de ciclos limites de um sistema diferencial planar polinomial. Embora não haja uma resposta explícita a esse problema, muitos avanços significantes foram realizados dentro da teoria dos sistemas dinâmicos. Dentre estes...

Resumo: A segunda parte do 16º Problema de Hilbert diz respeito ao número de ciclos limites de um sistema diferencial planar polinomial. Embora não haja uma resposta explícita a esse problema, muitos avanços significantes foram realizados dentro da teoria dos sistemas dinâmicos. Dentre estes avanços, destacamos o estudo dos ciclos limites e órbitas periódicas dos campos vetoriais planares lineares por partes. Embora não haja ciclos limites para campos lineares planares, em se tratando de campos planares lineares por partes, podemos encontrar exemplos onde a existência desses objetos é verificada. Assim, naturalmente, podemos estender a segunda parte do 16º problema de Hilbert para estes campos. O estudo deste problema neste cenário pode apresentar um extenso estudo caso a caso ligado, principalmente, ao espectro das matrizes do sistema. Uma forma de desviar dessa complicação se dá pela caracaterização integral dos mapas de meio retorno de Poincaré amplamente discutida neste trabalho. Como consequência desta caracterização, discutimos neste trabalho os avanços relacionados ao problema de Hilbert para esses campos. Mais especificamente, essa caracterização forneceu uma demonstração simples e curta para a Conjectura de Lum-Chua e permitiu melhorar a estimativa para uma cota uniforme para o número de ciclos limites de sistemas lineares planares por partes

Abstract: The second part of 16th Hilbert’s Problem concerns about the number of limit cycles of a polynomial planar differential system. Although there is not an explicit answer to this problem, many significant advancements have been made within the field of dynamical systems theory. Among these...

Abstract: The second part of 16th Hilbert’s Problem concerns about the number of limit cycles of a polynomial planar differential system. Although there is not an explicit answer to this problem, many significant advancements have been made within the field of dynamical systems theory. Among these advances, we can highlight the study of limit cycles and periodic orbits of piecewise linear planar vector fields. Although limit cycles are not allowed in linear vector systems, there are examples of piecewise linear planar vector fields which the existence of these objects is verified. Thus, it is possible to extend the 16th Hilbert’s problem second part to these fields. The study of this problem in this scenario may involve an extensive case-by-case study related to the spectrum of the system’s matrices. An way to avoid this study is given by an integral characterization of Poincaré half-maps that we discuss. As a consequence of this characterization, we discuss many advancements related to Hilbert’s problem to these fields. Specifically, this characterization provided a simple proof for Lum-Chua’s Conjecture a improved the estimation for a uniform bound on limit cycles number for piecewise linear planar systems

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