Orientador: Tiago Jardim da Fonseca

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica

Resumo: Formas modulares são funções no semiplano superior complexo que se transformam de uma forma especial sob a ação de um subgrupo discreto de SL(2,R). O objetivo desta dissertação é estudar a teoria de formas modulares e suas interações com a teoria dos números através das propriedades...

Resumo: Formas modulares são funções no semiplano superior complexo que se transformam de uma forma especial sob a ação de um subgrupo discreto de SL(2,R). O objetivo desta dissertação é estudar a teoria de formas modulares e suas interações com a teoria dos números através das propriedades aritméticas de valores especiais da função j-invariante. O principal resultado deste trabalho nos diz que estes valores especiais são inteiros algébricos. Estes números possuem propriedades extraordinárias. Por exemplo, como aplicação à teoria algébrica dos números, podemos obter uma teoria de corpos de classe explícita para corpos quadráticos imaginários, isto é, os valores especiais de j descrevem as extensões abelianas finitas dos corpos quadráticos imaginários. Por fim, estudaremos o artigo On Singular Moduli, de Gross e Zagier, dedicado ao estudo da fatoração em primos da diferença entre dois valores especiais de j, que continua servindo de base para uma série de avanços à teoria de números e à geometria aritmética até os dias de hoje

Abstract: Modular forms are functions in the complex upper half-plane which transform in a special way under the action of a discrete subgroup of SL(2,R). The aim of this work is to study the theory of modular forms and its interactions with number theory through the arithmetic properties of some...

Abstract: Modular forms are functions in the complex upper half-plane which transform in a special way under the action of a discrete subgroup of SL(2,R). The aim of this work is to study the theory of modular forms and its interactions with number theory through the arithmetic properties of some special values of the j-invariant function. The main result of this work tells us that the singular moduli are algebraic integers. These numbers have extraordinary properties, that gives meaning to many concepts in different areas of mathematics. For example, as an application to the algebraic number theory, we can obtain a explicit class field theory for imaginary quadratic fields. At last, we will study the paper On Singular Moduli, of Gross and Zagier, dedicated to the study of the prime factorization of the difference between two singular moduli, that keep serving as a base to a series of advances to number theory and to arithmetic geometry up to the present day

Requisitos do sistema: Software para leitura de arquivo em PDF