Orientador: Plamen Emilov Kochloukov

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica

Resumo: Neste trabalho obtemos uma base de identidades com ação de um grupo finito de automorfismos para o par $(M_2(\C), sl_2(\C))$. Estes grupos são os subgrupos finitos do grupo de automorfismos de $M_2(\C)$, tais grupos são conhecidos a muito tempo (formalmente desde aproximadamente 1870, embora...

Resumo: Neste trabalho obtemos uma base de identidades com ação de um grupo finito de automorfismos para o par $(M_2(\C), sl_2(\C))$. Estes grupos são os subgrupos finitos do grupo de automorfismos de $M_2(\C)$, tais grupos são conhecidos a muito tempo (formalmente desde aproximadamente 1870, embora ainda na Grécia antiga conheciam os poliedros regulares). Eles consistem dos subgrupos finitos de $PGL_2(\C)$, os quais são $\Z_n$, $D_n$, $A_4$, $A_5$ e $S_4$. De modo semelhante ao que foi feito para $M_2(\C)$ por A. Berele \cite{Berele} e $sl_2(\C)$ por P. Koshlukov e A. D. M. Mortari \cite{Koshlukov2015}, precisávamos de base de identidades fracas $\Z_2$-graduadas para o par $(M_2(\C), sl_2(\C))$, mas esta base ainda não era conhecida, então primeiramente computamos uma tal base. Mostramos também, considerando apenas anel (unitário) associativo, comutativo e Noetheriano que o ideal de identidades $\Z_2$-graduadas do par $(M_2(A),sl_2(A))$ satisfaz a Propriedade de Specht, a qual afirma (neste caso) que todo ideal de identidades fracas $Z_2$-graduadas que contém todas as identidades fracas graduadas do par $(M_2(A),sl_2(A))$ possui base finita. No último capítulo mostramos que as identidades de Laurent do grupo de unidades da álgebra relativamente livre $\mathcal{F}=\langle y_1,y_2\mid y_1^2=y_2^2=0\rangle$ são as mesmas que as do grupo linear geral $GL_2(F)$ se $F$ é qualquer corpo infinito quadraticamente fechado. Estas identidades são importantes, pois mostram sob quais condições a Conjectura de Hartley para identidades de Laurent continua válida

Abstract: In this work we obtain a basis of the identities for the pair $(M_2(\C), sl_2(\C))$ acted on by a finte group of automorphisms. These groups are the finite subgroups of the automorphism group of $M_2(\C)$. They have been known for a long time (formally since around 1870, although in...

Abstract: In this work we obtain a basis of the identities for the pair $(M_2(\C), sl_2(\C))$ acted on by a finte group of automorphisms. These groups are the finite subgroups of the automorphism group of $M_2(\C)$. They have been known for a long time (formally since around 1870, although in ancient Greece they knew a description of the regular polyhedra). These consist of the finite subgroups of $PGL_2(\C)$, which are $Z_n$, $D_n $, $A_4$, $A_5$ and $S_4$. Similarly to what was done for $M_2(\C)$ by A. Berele \cite{Berele} and for $sl_2(\C)$ by P. Koshlukov and A. D. M. Mortari \cite{Koshlukov2015}, we needed a basis of $\Z_2$-graded weak identities for the pair $(M_2(\ C), sl_2(\C))$, but this base was not yet known. Thus we had to compute such a basis. We also show, considering only associative, commutative and Noetherian (unitary) ring, that the ideal of $\Z_2$-graded identities of the pair $(M_2(A),sl_2(A))$ satisfies the Specht property, which states (in this case) that every ideal of $\Z_2$-graded weak identities that contains all graded identities of the pair $(M_2(A),sl_2(A))$, has a finite basis. In the last chapter we show that the Laurent identities of the group of units of the relatively free algebra $\mathcal{F}=\langle y_1,y_2\mid y_1^2=y_2^2=0\rangle$ are the same as those of the general linear group $GL_2(F)$ if $F$ is any quadratically closed infinite field. These identities are important, because they show under what conditions the so-called Hartley Conjecture for Laurent identities remains valid