Resumo: Seja P um conjunto finito de pontos no plano e S(P) o conjunto de todos os segmentos de reta com extremos em P. Uma triangulação planar de P é um subconjunto maximal de S(P) tal que nenhum par de segmentos neste subconjunto se intercepta, exceto possivelmente nos extremos. Chamamos de triangulação de custo mínimo a triangulação planar cuja soma total dos comprimentos de seus segmentos de reta é mínimo dentre todas as triangulações planares de P. Não se conhece algoritmo polinomial que resolva o problema de determinar a triangulação de custo mínimo de um conjunto de pontos no caso geral, contudo, também não está provado tratar-se de um problema NP-difícil. Neste trabalho estamos interessados na resolução exata deste problema. Nossa abordagem é baseada em técnicas de programação inteira, em particular estudamos duas formulações distintas para o problema. A primeira formulação é baseada em uma equivalência entre o problema da triangulação de custo mínimo e uma versão restrita do problema do conjunto independente em um grafo. Além das desigualdades obtidas através da observação desta equivalência, mostramos como fortalecer a formulação através de certas propriedades geométricas do problema. Estudamos ainda uma outra formulação baseada principalmente no trabalho apresentado por Loera et. al em [dLHSS96]. Enquanto na primeira formulação as variáveis binárias estão associadas aos segmentos em S(P), nesta segunda formulação as variáveis binárias estão associadas aos triângulos com vértices em P. Os resultados computacionais que obtivemos mostram uma clara superioridade do segundo modelo. Para a primeira formulação implementamos um algoritmo branch-and-cut que nos permitiu resolver problemas de até 160 pontos (|P| = 160). Já para a segunda formulação a solução ótima da relaxação linear sempre foi inteira, o que nos permitiu resolver instâncias com até 1000 pontos (|P| = 1000) Ver menos

Abstract: Let P be a finite set of points in the plane and S(P) be the set of all segments with both extreme points in P. A planar triangulation of P is a maxirnal subset of S(P) such that no pair of segments is this subset intercept each other, except possibly at their extremities. A minimum triangulation of P is a planar triangulation whose sum of the lengths of all its segments is minimum over all possible triangulations of P. No polynomial algorithm is known that solves this problem in the general case, however it is also not known if the problem is NP-hard. In this work we are interested in solving the problem exactly. Our approach is based on integer programming techniques and is particular we have studied two different formulations for the problem. The first formulation is based on an equivalence between the problem of finding a minimum weight triangulation of P and a restricted version of the maximum independent set of a graph. Besides the inequalities arising from this observation, we show how to strength the formulation by using geometric properties if the problem. We also have studied a second formulation mainly based on the work of Loera et. al [dLHSS96]. While in the first formulation the binary variables are associated to the segments in S(P), in this second formulation the binary variables are associated to the triangles with vertices lying in P. Our computational results have shown that the second model clearly outperforms the first one. For the first formulation, we have implemented a branch-and-cut algorithm which allowed us to solve instances with up to 160 points (IPI = 160). On the other hand, for the for second formulation, the optimal solution of the linear relaxation was integer for all tested instances, which has made possible the solution of instances with up to 1000 points (IPI = 1000]
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