Orientadores: Luiz Antonio Barrera San Martin, Lucas Conque Seco Ferreira

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo: Em 1973, Bernstein, Gel'fand e Gel'fand publicaram um artigo sobre a homologia dos espaços G/P, que chamaremos de variedades bandeira. Lá eles mostram qual é a relação entre a homologia gerada pela decomposição celular de Schubert e a cohomologia usando as classes características de Chern...

Resumo: Em 1973, Bernstein, Gel'fand e Gel'fand publicaram um artigo sobre a homologia dos espaços G/P, que chamaremos de variedades bandeira. Lá eles mostram qual é a relação entre a homologia gerada pela decomposição celular de Schubert e a cohomologia usando as classes características de Chern dada por fibrados de retas complexas. Este trabalho apresenta técnicas alternativas de se obter essa mesma relação em variedades bandeira maximais, porém utilizando o homomorfismo de Chern-Weil, que associa polinômios P-invariantes à formas diferenciais fechadas, e portanto representantes em H*(G/P; R). Como se sabe, cada célula de Schubert está associada a um elemento w do grupo de Weyl. O que fizemos foi construir formas volumes invariantes em tais células que não dependem da decomposição minimal de w. Utilizando propriedades geométricas das células de Schubert - fibrações de esfera sobre células menores - demonstramos a dualidade entre células e polinômios, um problema que se reduziu à integração sobre esferas. Tais técnicas permitem inclusive a obtenção de resultados análogos para variedades bandeira quaterniônicas. Explorando mais afundo essas variedades quaterniônicas, apresentamos formas explícitas das classes de Pontryagin e por último, como tais classes representam uma obstrução para existência de certos referenciais na variedade bandeira, provamos que ali não existe uma estrutura hipercomplexa invariante pela ação do grupo estrutural

Abstract: In 1973, Bernstein, Gel'fand and Gel'fand published a paper about the homology of the spaces G/P, which we call flag manifolds. There they showed what is the relationship between the homology generated by the Schubert cellular decomposition and the cohomology using Chern characteristic...

Abstract: In 1973, Bernstein, Gel'fand and Gel'fand published a paper about the homology of the spaces G/P, which we call flag manifolds. There they showed what is the relationship between the homology generated by the Schubert cellular decomposition and the cohomology using Chern characteristic classes of complex line bundles. This work presents alternative techniques aiming to prove the same relations in maximal flag manifolds, but using instead the Chern-Weil homomorphism, which takes P-invariant polynomials to closed differential forms, that is, representants in H*(G/P; R). It is known that each Schubert cell is indexed by an element w of the Weyl group. We build invariant volume forms on each cell which does not depend on the minimal decomposition of w. Making use of geometrical properties of the Schubert cells - sphere fibrations over smaller cells - we have managed to demonstrate the duality between cells and polynomials, thus reducing the problem to that of integration over spheres. Such techniques allowed us to go even further and prove analogous results for the quaternionic maximal manifold. We deeper explore the quaternionic manifolds and show explicit formulas for the Pontryagin classes. Lastly, since such characteristic classes provides an obstruction for the existence of certain frames on the manifold, we proved that there is no hypercomplex structure which is also invariant by the structure group action