Orientador: Mahendra Prasad Panthee

Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Resumo: Nesta tese, estudamos a controlabilidade e estabilização das equações de Benjamin e Intermediate Long Wave (ILW) num domínio periódico. A primeira parte deste trabalho envolve a equação de Benjamin derivada por Benjamin em [12] que modela a propagação unidirecional de ondas longas num...

Resumo: Nesta tese, estudamos a controlabilidade e estabilização das equações de Benjamin e Intermediate Long Wave (ILW) num domínio periódico. A primeira parte deste trabalho envolve a equação de Benjamin derivada por Benjamin em [12] que modela a propagação unidirecional de ondas longas num sistema de dois fluidos onde o fluido inferior com maior densidade é infi nitamente profundo e a interface está sujeita a capilaridade. Primeiramente, estudaremos a controlabilidade e estabilidade do sistema linear não homogêneo associado à equação de Benjamin. Provamos a existência e unicidade das soluções para este sistema via teoria de semigrupos. Depois, usamos o método clássico do momento (veja [79]) para mostrar que o sistema linear é globalmente exatamente controlável e consequentemente obter um resultado de estabilização exponencial com uma taxa de decaimento arbitraria. Em seguida, derivamos a propriedade de propagação de compacidade, propagação de regularidade e a propriedade de continuação única para a equação de Benjamin em espaços de Bourgain associado. Usamos essas propriedades para provar um resultado de estabilidade global assintótica com uma taxa de decaimento arbitraria. Finalmente, obtemos un resultado de controlabilidade global para a equação de Benjamin. A segunda parte de este trabalho se concentra nas propriedades de controlabilidade e estabilização da equação ILW, que modela ondas dispersivas não lineares de amplitude moderada na interface entre dois fluidos de diferentes densidades positivas contidos em repouso num canal longo com uma parte superior e inferior horizontal, o fluido mais leve formando uma camada horizontal acima de uma camada da mesma profundidade do fluido mais pesado. Nós provamos que a equação ILW com condições de fronteira periódicas é exatamente controlável e exponencialmente estabilizável. Especi camente, incorporamos uma lei de feedback na forma de amortecimento localizado na equação para estabelecer um efeito regularizante. Usando este efeito regularizante e propriedades de propagação de regularidade e continuação única, conseguimos demonstrar a estabilização semi-global no espaço de Sobolev L^{2}_{0}(T) de soluções fracas obtidas pelo método de vanishing viscocity. Também, estabelecemos a boa colocaçao local e a estabilidade exponencial local em H^{s}_{0}(T) com s >1/2. Finalmente, a controlabilidade exata local em H^{s}_{0}(T), com s>1/2, é derivada combinado a lei de feedback acima com um controle de malha aberta. Esses resultados são semelhantes aos obtidos por Linares e Rosier [59] para a equação de BO

Abstract: In this thesis, we study the controllability and stabilization of Benjamin and Intermediate Long Wave (ILW) equations on a periodic domain. In the first part of this work we consider the Benjamin equation derived by Benjamin in [12]. This model describes the unidirectional propagation of...

Abstract: In this thesis, we study the controllability and stabilization of Benjamin and Intermediate Long Wave (ILW) equations on a periodic domain. In the first part of this work we consider the Benjamin equation derived by Benjamin in [12]. This model describes the unidirectional propagation of long waves in a two-fluid system where the lower fluid with greater density is infi nitely deep and the interface is subject to capillarity. First we deal with the controllability and stabilization of the nonhomogenous linear system associated to the Benjamin equation. We obtain the existence and uniqueness of solutions of this system via semigroup theory. Then, we use the classical moment method (see [79]) to show that the linear system is globally exactly controllable, and consequently to get a global exponential stabilization result with an arbitrary decay rate. Next, we derive propagation of compactness, the propagation of smoothness and the unique continuation property for the nonlinear Benjamin equation in associated Bourgain's spaces in the periodic setting. We use these properties to obtain the global exponential stability with a natural feedback law and an arbitrary decay rate. Finally, we also obtain the global controllability result for the Benjamin equation. The second part of this work we focus on the controllability and the stabilization properties of the ILW equation which models nonlinear dispersive waves of moderate amplitude on the interface between two fluids of different positive densities contained at rest in a long channel with a horizontal top and bottom, the lighter fluid forming a horizontal layer above a layer of the same depth of the heavier fluid. We prove that the ILW equation with periodic boundary conditions is exactly controllable and exponentially stabilizable. Speci cally, we incorporate a feedback law in the form of localized damping into the equation to establish a smoothing effect. Using this smoothing effect together with the propagation of regularity property and the unique continuation property we show the semi-global stabilization in L^{2}_{0}(T) of weak solutions obtained by the method of vanishing viscosity. The local-well posedness and the local exponential stability in H^{s}_{0}(T) with s>1/2 is also established using the contraction mapping theorem. Finally, the local exact controllability is derived in H^{s}_{0}(T) with s>1/2 by combining the above feedback law with some open-loop control. These results are similar to the ones obtained by Linares and Rosier [59] for the BO

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