Please use this identifier to cite or link to this item: http://repositorio.unicamp.br/jspui/handle/REPOSIP/334004
Full metadata record
DC FieldValueLanguage
dc.contributor.CRUESPUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASpt_BR
dc.descriptionOrientador: Mahendra Prasad Pantheept_BR
dc.descriptionTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científicapt_BR
dc.format.extent1 recurso online (152 p.) : il., digital, arquivo PDF.pt_BR
dc.format.mimetypeapplication/pdfpt_BR
dc.languagePortuguêspt_BR
dc.relation.requiresRequisitos do sistema: Software para leitura de arquivo em PDFpt_BR
dc.typeTESE DIGITALpt_BR
dc.titleSobre alguns sistemas de equações de evolução do tipo Schrödinger em variedades compactaspt_BR
dc.title.alternativeOn some systems involving Schrödinger type evolution equations in compact manifoldspt_BR
dc.contributor.authorNogueira, Marcelo Aparecido Cabral, 1990-pt_BR
dc.contributor.advisorPanthee, Mahendra Prasad, 1966-pt_BR
dc.contributor.institutionUniversidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científicapt_BR
dc.contributor.nameofprogramPrograma de Pós-Graduação em Matemáticapt_BR
dc.subjectSchrodinger, Equação não-linear dept_BR
dc.subjectLaplace-Beltrami, Operador dept_BR
dc.subjectStrichartz, Estimativas dept_BR
dc.subjectBourgain, Espaços dept_BR
dc.subjectVariedades compactaspt_BR
dc.subject.otherlanguageNonlinear Schrödinger equationen
dc.subject.otherlanguageLaplace-Beltrami operatoren
dc.subject.otherlanguageStrichartz estimatesen
dc.subject.otherlanguageBourgain spacesen
dc.subject.otherlanguageCompact manifoldsen
dc.description.abstractResumo: Nesta tese, estudamos três modelos distintos de sistemas de evolução do tipo Schrödinger não lineares modeladas sobre variedades riemannianas compactas $(M, g)$ de dimensão $d\geq 2$. Nosso principal interesse foi estudar quest\~oes de boa colocaç\~ao local e global para problemas de valor inicial (PVIs) associados com os dados iniciais em espaços de Sobolev fracionários de baixa regularidade. O primeiro PVI que abordamos é associado ao sistema de Schrödinger-Debye que descreve a interação atrasada não-ressonante de uma onda eletromagnética com um meio não homogêneo em vista da métrica não-euclideana $g$. Usamos as estimativas do tipo Strichartz com perda de derivadas estabelecida por Burq, Gerárd e Tzvetkov \cite{BGT} no contexto de variedades compactas para provar boa colocação local para dado inicial com regularidade $s> \frac{d-1}{2}$, $d\geq 2$. Também, em dimensão $2$, usamos desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ótima estabelecida por Ceccon e Montenegro \cite{CM2008} para provar boa colocação global em $H^1(M)$. O segundo PVI que estudamos é associado a um sistema formado por duas equações de Schrödinger cúbicas acopladas. Este sistema modela o comportamento de duas ondas ópticas de diferentes frequências propagando em um meio n\~ao homogêneo interagindo de forma não linear através dele. Usando as mesmas técnicas como no sistema de Schrödinger-Debye, obtivemos resultados análogos de boa colocaç\~ao também neste caso. Alem disso, em dimensão 3, provamos existência e unicidade de soluções fracas em $\bH^1(M)$. Por último, estudamos o PVI associado a um sistema de interações quadráticas que aparece em óptica não linear que em inglês, é chamado \textit{Second Harmonic Generation} (SHG). Estudamos este sistema modelado sobre $\mathbb{S}^d$, $d\geq 2$ e sobre variedades bidimensional do tipo Zoll. Definimos os espaços de Bourgain associados à formulação do problema e usamos estimativas de Strichartz do tipo bilinear espectralmente localizado a fim de obter estimativas bilineares para os termos de interações quadráticas. Finalmente, usamos estas estimativas para provar boa colocação local em $\bH^s(M)$, $s> s_0(M)$. Também, no caso de dimensões $2$ e $3$, usando quantidades conservadas e uma desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ótima, obtemos boa colocação global em $\bH^s(M)$, $s\geq 1$pt
dc.description.abstractAbstract: In this thesis, we considered three distinct systems consisting of nonlinear Schrödinger type evolution equations modeled on $d$-dimensional compact riemannian manifolds $(M, g)$. We focused our work in studying the local and global well-posedness issues for the associated initial value problems (IVPs) with given initial data in suitable low regularity Sobolev spaces. The first IVP that we addressed is associated with the Schrödinger-Debye system which describes the interaction of the non-resonant delay of an electromagnetic wave with a non-homogeneous medium. We used the Strichartz type estimates with derivative loss established by Burq, Gerárd and Tzvetkov \cite{BGT} in the context of compact manifolds to obtain local well-posedness for initial data with regularity $s>\frac{d-1}{2}$, $d\geq 2$. Also, we use a sharp version of Gagliardo-Nirenberg inequality established by Ceccon and Montenegro \cite{CM2008} to prove global well-posedness result in $H^1(M)$ in dimension $2$. The second IVP we studied is associated with a system consisting of two cubic nonlinear Schrödinger equations. This system models the behavior of two nonlinearly interacting optical waves of different frequencies propagating in a non-homogeneous medium. Using the same techniques as in the Schrödinger-Debye system, we obtained analogous well-posedness results to this system as well. Moreover, in three-dimensional case, we proved the existence and uniqueness of a weak solution in ${\mathbf{H}}^1(M)$. Finally, we studied the IVP associated with a system consisting of Schrödinger type equations with interacting quadratic nonlinearities. This system appears in nonlinear optics and is commonly known as Second Harmonic Generation (SHG). We studied this system modeled on $\mathbb{S}^d$, $d\geq 2$ and on two-dimensional Zoll manifolds. We defined the Bourgain's spaces associated with the problem and proved some bilinear Strichartz type estimates for spectrally localized functions. These localized Strichartz estimates are used to obtain bilinear estimates for the quadratic interacting terms in order to prove the local well-posedness result for the initial data in $\bH^s(M)$, $s> s_0(M)$. Also, in the case of dimensions $2$ and $3$, using conserved quantities and a sharp version of Gagliardo-Nirenberg inequality we obtained global well-posedness in $\bH^s(M)$, $s\geq 1$en
dc.publisher[s.n.]pt_BR
dc.date.issued2019pt_BR
dc.identifier.citationNOGUEIRA, Marcelo Aparecido Cabral. Sobre alguns sistemas de equações de evolução do tipo Schrödinger em variedades compactas. 2019. 1 recurso online (152 p.). Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP.pt_BR
dc.description.degreelevelDoutoradopt_BR
dc.description.degreedisciplineMatematicapt_BR
dc.description.degreenameDoutor em Matemáticapt_BR
dc.contributor.committeepersonalnameFerreira, Ademir Pastorpt_BR
dc.contributor.committeepersonalnameFerreira, Lucas Catão de Freitaspt_BR
dc.contributor.committeepersonalnameRamirez, Jose Felipe Linarespt_BR
dc.contributor.committeepersonalnameCorcho Fernández, Adán Josépt_BR
dc.date.defense2019-03-27T00:00:00Zpt_BR
dc.description.sponsordocumentnumber140677/2007-8pt_BR
dc.date.available2019-05-21T18:07:25Z-
dc.date.accessioned2019-05-21T18:07:25Z-
dc.description.provenanceMade available in DSpace on 2019-05-21T18:07:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Nogueira_MarceloAparecidoCabral_D.pdf: 1270804 bytes, checksum: c0ba34b32a22e0048a69aa0907a75e7e (MD5) Previous issue date: 2019en
dc.identifier.urihttp://repositorio.unicamp.br/jspui/handle/REPOSIP/334004-
dc.description.sponsorCAPESpt_BR
dc.description.sponsorCNPQpt_BR
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

Files in This Item:
File SizeFormat 
Nogueira_MarceloAparecidoCabral_D.pdf1.24 MBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.