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Type: TESE DIGITAL
Degree Level: Doutorado
Title: Sobre alguns sistemas de equações de evolução do tipo Schrödinger em variedades compactas
Title Alternative: On some systems involving Schrödinger type evolution equations in compact manifolds
Author: Nogueira, Marcelo Aparecido Cabral, 1990-
Advisor: Panthee, Mahendra Prasad, 1966-
Abstract: Resumo: Nesta tese, estudamos três modelos distintos de sistemas de evolução do tipo Schrödinger não lineares modeladas sobre variedades riemannianas compactas $(M, g)$ de dimensão $d\geq 2$. Nosso principal interesse foi estudar quest\~oes de boa colocaç\~ao local e global para problemas de valor inicial (PVIs) associados com os dados iniciais em espaços de Sobolev fracionários de baixa regularidade. O primeiro PVI que abordamos é associado ao sistema de Schrödinger-Debye que descreve a interação atrasada não-ressonante de uma onda eletromagnética com um meio não homogêneo em vista da métrica não-euclideana $g$. Usamos as estimativas do tipo Strichartz com perda de derivadas estabelecida por Burq, Gerárd e Tzvetkov \cite{BGT} no contexto de variedades compactas para provar boa colocação local para dado inicial com regularidade $s> \frac{d-1}{2}$, $d\geq 2$. Também, em dimensão $2$, usamos desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ótima estabelecida por Ceccon e Montenegro \cite{CM2008} para provar boa colocação global em $H^1(M)$. O segundo PVI que estudamos é associado a um sistema formado por duas equações de Schrödinger cúbicas acopladas. Este sistema modela o comportamento de duas ondas ópticas de diferentes frequências propagando em um meio n\~ao homogêneo interagindo de forma não linear através dele. Usando as mesmas técnicas como no sistema de Schrödinger-Debye, obtivemos resultados análogos de boa colocaç\~ao também neste caso. Alem disso, em dimensão 3, provamos existência e unicidade de soluções fracas em $\bH^1(M)$. Por último, estudamos o PVI associado a um sistema de interações quadráticas que aparece em óptica não linear que em inglês, é chamado \textit{Second Harmonic Generation} (SHG). Estudamos este sistema modelado sobre $\mathbb{S}^d$, $d\geq 2$ e sobre variedades bidimensional do tipo Zoll. Definimos os espaços de Bourgain associados à formulação do problema e usamos estimativas de Strichartz do tipo bilinear espectralmente localizado a fim de obter estimativas bilineares para os termos de interações quadráticas. Finalmente, usamos estas estimativas para provar boa colocação local em $\bH^s(M)$, $s> s_0(M)$. Também, no caso de dimensões $2$ e $3$, usando quantidades conservadas e uma desigualdade de Gagliardo-Nirenberg ótima, obtemos boa colocação global em $\bH^s(M)$, $s\geq 1$

Abstract: In this thesis, we considered three distinct systems consisting of nonlinear Schrödinger type evolution equations modeled on $d$-dimensional compact riemannian manifolds $(M, g)$. We focused our work in studying the local and global well-posedness issues for the associated initial value problems (IVPs) with given initial data in suitable low regularity Sobolev spaces. The first IVP that we addressed is associated with the Schrödinger-Debye system which describes the interaction of the non-resonant delay of an electromagnetic wave with a non-homogeneous medium. We used the Strichartz type estimates with derivative loss established by Burq, Gerárd and Tzvetkov \cite{BGT} in the context of compact manifolds to obtain local well-posedness for initial data with regularity $s>\frac{d-1}{2}$, $d\geq 2$. Also, we use a sharp version of Gagliardo-Nirenberg inequality established by Ceccon and Montenegro \cite{CM2008} to prove global well-posedness result in $H^1(M)$ in dimension $2$. The second IVP we studied is associated with a system consisting of two cubic nonlinear Schrödinger equations. This system models the behavior of two nonlinearly interacting optical waves of different frequencies propagating in a non-homogeneous medium. Using the same techniques as in the Schrödinger-Debye system, we obtained analogous well-posedness results to this system as well. Moreover, in three-dimensional case, we proved the existence and uniqueness of a weak solution in ${\mathbf{H}}^1(M)$. Finally, we studied the IVP associated with a system consisting of Schrödinger type equations with interacting quadratic nonlinearities. This system appears in nonlinear optics and is commonly known as Second Harmonic Generation (SHG). We studied this system modeled on $\mathbb{S}^d$, $d\geq 2$ and on two-dimensional Zoll manifolds. We defined the Bourgain's spaces associated with the problem and proved some bilinear Strichartz type estimates for spectrally localized functions. These localized Strichartz estimates are used to obtain bilinear estimates for the quadratic interacting terms in order to prove the local well-posedness result for the initial data in $\bH^s(M)$, $s> s_0(M)$. Also, in the case of dimensions $2$ and $3$, using conserved quantities and a sharp version of Gagliardo-Nirenberg inequality we obtained global well-posedness in $\bH^s(M)$, $s\geq 1$
Subject: Schrodinger, Equação não-linear de
Laplace-Beltrami, Operador de
Strichartz, Estimativas de
Bourgain, Espaços de
Variedades compactas
Language: Português
Editor: [s.n.]
Citation: NOGUEIRA, Marcelo Aparecido Cabral. Sobre alguns sistemas de equações de evolução do tipo Schrödinger em variedades compactas. 2019. 1 recurso online (152 p.). Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP.
Date Issue: 2019
Appears in Collections:IMECC - Tese e Dissertação

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